Nichtlineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen lösen — Substitution, Elimination und Newton-Raphson-Verfahren.
Circle: x² + y² = r²
Line: y = mx + b
Parabola: y = ax² + bx + c
Line: y = mx + k
Circle 1: (x−h₁)² + (y−k₁)² = r₁²
Circle 2: (x−h₂)² + (y−k₂)² = r₂²
Parabola: y = ax²
Circle: x² + y² = r²
Gib zwei Gleichungen als JavaScript-Ausdrücke ein. Verwende x und y als Variablen. Beispiel: x*x + y*y - 25
Was ist ein nichtlineares Gleichungssystem?
Ein nichtlineares Gleichungssystem ist eine Menge von zwei oder mehr Gleichungen, bei der mindestens eine einen nichtlinearen Term enthält – wie x², y², xy, |x|, sin(x) oder eine Exponentialfunktion. Im Gegensatz zu linearen Systemen beinhalten nichtlineare Systeme Kurven: Kreise, Parabeln, Hyperbeln, Ellipsen und komplexere Formen. Die Lösungen sind die Punkte, an denen sich diese Kurven in der Koordinatenebene schneiden.
Nichtlineare Systeme treten in der Physik (Bahnberechnungen, Orbitalmechanik), im Ingenieurwesen (Spannungsanalyse, Schaltungsdesign), in der Wirtschaft (Angebot-Nachfrage-Gleichgewicht) und in der Computergrafik (Strahl-Kugel-Schnitt) auf.
Der wesentliche Unterschied zu linearen Systemen ist die Anzahl möglicher Lösungen: Ein lineares System hat 0, 1 oder ∞ Lösungen, während ein nichtlineares System eine beliebige endliche Anzahl von Lösungen haben kann.
Lösungsmethoden für nichtlineare Systeme
Methode
Geeignet für
Ergebnis
Substitution
Wenn eine Gleichung linear oder leicht umformbar ist
Exakte algebraische Lösungen
Elimination
Zwei Kegelschnitte mit gemeinsamem Term (z.B. zwei Kreise)
Vereinfacht zu einfacherem System
Newton-Raphson
Jedes differenzierbare System ohne geschlossene Form
Faktorisieren: (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3 oder x = 4
Rückeinsetzen: (3, 4) und (4, 3) — beide auf Kreis und Gerade ✓
Häufig gestellte Fragen
Ein nichtlineares Gleichungssystem ist eine Menge von zwei oder mehr Gleichungen, bei der mindestens eine Gleichung nichtlinear ist — sie enthält Terme wie x², y², xy, sin(x) oder Exponentialfunktionen.
Die Hauptmethoden sind Substitution, Elimination und Newton-Raphson-Iteration für Gleichungen, die nicht in geschlossener Form lösbar sind. Substitution funktioniert gut, wenn eine Gleichung linear ist.
Ein nichtlineares System kann null, eine, zwei oder mehr Lösungen haben. Zwei verschiedene Kreise können sich in genau 0, 1 oder 2 Punkten schneiden.
Bei der Substitution löst man eine Gleichung nach einer Variablen auf (z.B. y = 7 − x) und setzt sie in die andere ein. Dies reduziert das System auf eine Gleichung mit einer Variablen (oft eine quadratische Gleichung).
Newton-Raphson ist ein iteratives numerisches Verfahren. Ausgehend von einem Startpunkt (x₀, y₀) wird die Jacobi-Matrix verwendet, um Korrekturen (Δx, Δy) zu berechnen. Es konvergiert quadratisch nahe einer Wurzel.
Lineare Systeme beinhalten nur Geraden mit genau 0, 1 oder unendlich vielen Lösungen. Nichtlineare Systeme beinhalten Kurven und können eine beliebige Anzahl von Schnittpunkten haben.
Zwei Kreise schneiden sich nicht, wenn der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten größer als die Summe der Radien (zu weit entfernt) oder kleiner als der Betrag der Differenz ist (einer liegt vollständig im anderen).
Ja. Wenn die Diskriminante des resultierenden Polynoms negativ ist, umfassen die Lösungen komplexe Zahlen. Geometrisch bedeutet dies, dass sich die Kurven in der reellen Ebene nicht schneiden.