Rechner für lineare Gleichungen

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine lineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung, in der jeder Term entweder eine Konstante oder das Produkt einer Konstanten mit einer Variablen erster Potenz ist. Der Graph mit zwei Variablen ist stets eine Gerade. Lineare Gleichungen sind grundlegend für Algebra, Analysis, Physik, Wirtschaft und nahezu jedes quantitative Fachgebiet.

Die allgemeine Form einer linearen Gleichung mit einer Variablen lautet ax + b = c, wobei a, b und c Konstanten und x die Unbekannte sind. Für zwei Variablen gilt: a₁x + b₁y = c₁. Für drei Variablen: ax + by + cz = d. Werden mehrere lineare Gleichungen gleichzeitig gelöst, spricht man von einem linearen Gleichungssystem.

Arten linearer Gleichungssysteme

1. Eindeutig lösbares System

Ein System besitzt genau eine Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Zwei Geraden eines 2×2-Systems schneiden sich dann in genau einem Punkt, sodass jede Variable einen eindeutigen Zahlenwert erhält.

2. Widersprüchliches System (keine Lösung)

Ein System hat keine Lösung, wenn die Gleichungen parallele Geraden in 2D oder parallele Ebenen in 3D beschreiben, die sich nie schneiden. Die Koeffizientendeterminante ist null, zugleich entsteht ein Widerspruch. So haben x + y = 3 und x + y = 5 keine gemeinsame Lösung.

3. Abhängiges System (unendlich viele Lösungen)

Ein System besitzt unendlich viele Lösungen, wenn eine oder mehrere Gleichungen Vielfache einer anderen Gleichung sind und dasselbe geometrische Objekt darstellen. Die Determinante ist null und mindestens eine Variable bleibt frei.

Lösungsverfahren für 2×2-Systeme

Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst und der Ausdruck in die andere Gleichung eingesetzt. Dadurch entsteht eine Gleichung mit nur einer Variablen. Nach ihrer Lösung wird rückwärts eingesetzt, um die zweite Variable zu bestimmen. Besonders günstig ist ein Koeffizient von 1.

Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden Gleichungen so mit Konstanten multipliziert, dass sich beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable aufhebt. Das Verfahren ist besonders effizient, wenn kleine ganzzahlige Koeffizienten leicht passend skaliert werden können.

Cramersche Regel

Cramersche Regel verwendet Determinanten, um lineare Gleichungssysteme direkt zu lösen. Für das 2×2-System a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂ lauten die Lösungen:

Variable	Formel	Determinante
D (Koeffizientendeterminante)	a₁b₂ − b₁a₂	|a₁ b₁ / a₂ b₂|
x	D𝑥 / D	|c₁ b₁ / c₂ b₂|
y	D𝑦 / D	|a₁ c₁ / a₂ c₂|

Für D = 0 ist das System entweder widersprüchlich und ohne Lösung oder abhängig mit unendlich vielen Lösungen. Die Cramersche Regel lässt sich mithilfe größerer Determinanten auf 3×3- und größere Systeme erweitern.

Gauß-Verfahren für 3×3-Systeme

Das Gaußsche Eliminationsverfahren (auch Zeilenreduktion genannt) überführt die erweiterte Matrix mit drei elementaren Zeilenoperationen in Zeilenstufenform: Zeilen tauschen, eine Zeile mit einem von null verschiedenen Skalar multiplizieren und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. In Stufenform liefert das Rückwärtseinsetzen die Lösung von unten nach oben.

Bei einem 3×3-System erzeugt das Gaußsche Eliminationsverfahren zunächst Nullen unter dem Pivotelement der ersten und danach der zweiten Spalte. Dadurch entsteht eine obere Dreiecksmatrix. Rückwärtseinsetzen bestimmt z aus der dritten, y aus der zweiten und x aus der ersten Zeile.

Lineare Gleichungen mit Brüchen lösen

Bei linearen Gleichungen mit Bruchkoeffizienten wie x/3 + 2 = x/5 − 1 wird zuerst der kleinste gemeinsame Nenner aller Nenner bestimmt. Multipliziert man jeden Term auf beiden Seiten damit, verschwinden die Brüche und es entsteht eine äquivalente Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Im Beispiel ergibt der gemeinsame Nenner 15 die Gleichung 5x + 30 = 3x − 15 und damit x = −22,5.

Anwendungen in der Praxis

• Gewinnschwellenanalyse: Erlös und Kosten als lineare Funktionen gleichsetzen und die Absatzmenge an der Gewinnschwelle berechnen.
• Mischungsaufgaben: Zwei Stoffe mit unbekannten Anteilen und bekannter Gesamtmenge führen über Mengen- und Konzentrationsgleichung zu einem 2×2-System.
• Schaltungsanalyse (Kirchhoffsche Regeln): Jede Masche oder jeder Knoten liefert eine lineare Gleichung für unbekannte Ströme; das System bestimmt sämtliche Zweigströme.
• Gleichgewicht von Angebot und Nachfrage: Angebot und Nachfrage als lineare Preisfunktionen gleichsetzen, um Gleichgewichtspreis und -menge zu erhalten.
• Weg-Geschwindigkeit-Zeit-Aufgaben: Zwei Bewegungen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten führen zu Gleichungen für Zeit und Strecke.
• Altersaufgaben: Heutige und zukünftige Altersangaben zweier Personen werden als zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten formuliert.