nCr

Kombinationen Rechner

Berechne Kombinationen (nCr) und den Binomialkoeffizienten mit Lösungsweg

Was ist eine Kombination in der Mathematik?

Eine Kombination in der Kombinatorik ist eine Auswahl von Elementen aus einer größeren Menge, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt. Ob du die Zahlen 4, 12 und 28 für einen Lottoschein wählst oder 28, 12 und 4 — das Ergebnis ist identisch. Man spricht oft auch vom Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Die Formel für Kombinationen (oft geschrieben als nCr oder der Binomialkoeffizient C(n,k)) wird verwendet, um zu berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Grundmenge von n Elementen auszuwählen.

Kombinationen Formel (Binomialkoeffizient)

Die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n Elementen ohne Reihenfolge auszuwählen, berechnet sich wie folgt:

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Wobei:
n = Gesamtzahl der Elemente (Grundmenge)
k = Anzahl der auszuwählenden Elemente (manchmal auch 'r')
! = Fakultät (z.B. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1)

Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen

Der wichtigste Unterschied in der Kombinatorik ist die Frage: Spielt die Reihenfolge eine Rolle?

  • Permutation (nPr): Reihenfolge ist wichtig. Ein PIN-Code wie 123 ist nicht dasselbe wie 321. Ein Rennen, bei dem Anna Gold und Ben Silber gewinnt, ist ein anderes Ergebnis als Ben (Gold) und Anna (Silber).
  • Kombination (nCr): Reihenfolge ist unwichtig. Eine Gruppe bestehend aus Anna und Ben ist dieselbe Gruppe wie Ben und Anna. Ein Obstsalat mit Apfel, Banane und Kirsche ist identisch mit einem Obstsalat aus Kirsche, Apfel und Banane.

Beispiel aus der Praxis

Angenommen, in einem Raum befinden sich 10 Personen. Jeder gibt jedem genau einmal die Hand. Wie viele Händedrücke gibt es?

Das ist ein klassisches Kombinationsproblem. Ein Händedruck benötigt 2 Personen (k=2) aus 10 (n=10). Die Reihenfolge ist egal (A schüttelt B die Hand ist dasselbe wie B schüttelt A die Hand).
C(10, 2) = 10! / (2! × 8!) = (10 × 9) / (2 × 1) = 45 Händedrücke.

Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet nCr auf dem Taschenrechner?
nCr steht für "n choose r" (n über r). Es berechnet Kombinationen — also auf wie viele Arten man r Objekte aus n Objekten auswählen kann, wenn die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.
Was ist der Binomialkoeffizient?
Der Binomialkoeffizient ist ein anderer Name für die Kombinationen C(n,k). Er wird üblicherweise in Klammern übereinander geschrieben (n über k). Er heißt so, weil er als Koeffizient im binomischen Lehrsatz (x + y)^n auftaucht.
Was ist das Pascalsche Dreieck?
Das Pascalsche Dreieck ist eine geometrische Anordnung von Binomialkoeffizienten in Dreiecksform. Jede Zahl im Dreieck ist die Summe der beiden darüberliegenden Zahlen. Die Zahl in der n-ten Zeile und k-ten Spalte entspricht genau dem Wert C(n,k).