Boolescher Algebra Vereinfacher
Wahrheitstabelle · Tautologie · Kontradiktion · UND, ODER, NICHT, XOR, NAND, NOR
Booleschen Ausdruck eingeben
Variablen: A, B, C, D · Operatoren: &, |, !, ^, NAND, NOR
Beispielausdrücke (anklicken):
Ausdrucksanalyse
Wahrheitstabelle
Normalformen
Disjunktive Normalform (DNF / Minterm)
Konjunktive Normalform (KNF / Maxterm)
Logikgatter — Schnelle Referenz
| Gatter | Symbol | A=0,B=0 | A=1,B=0 | A=0,B=1 | A=1,B=1 |
|---|---|---|---|---|---|
| UND (AND) | & | 0 | 0 | 0 | 1 |
| ODER (OR) | | | 0 | 1 | 1 | 1 |
| NICHT (NOT A) | !A | 1 | 0 | — | — |
| XOR | ^ | 0 | 1 | 1 | 0 |
| NAND | NAND | 1 | 1 | 1 | 0 |
| NOR | NOR | 1 | 0 | 0 | 0 |
| XNOR | XNOR | 1 | 0 | 0 | 1 |
Boolesche Gesetze
Kommutativgesetz
A & B = B & A
A | B = B | A
Assoziativgesetz
(A & B) & C = A & (B & C)
(A | B) | C = A | (B | C)
Distributivgesetz
A & (B | C) = (A&B) | (A&C)
A | (B & C) = (A|B) & (A|C)
De Morgansche Gesetze
!(A & B) = !A | !B
!(A | B) = !A & !B
Neutralelement
A & 1 = A
A | 0 = A
Komplementgesetz
A & !A = 0 (Kontradiktion)
A | !A = 1 (Tautologie)
Was ist Boolesche Algebra?
Boolesche Algebra ist ein mathematisches System, das von George Boole im 19. Jahrhundert entwickelt wurde und nur die Wahrheitswerte Wahr (1) und Falsch (0) verwendet. Sie bildet die mathematische Grundlage für:
- Digitale Schaltkreise und Logikgatter in Hardware
- Datenbankabfragen (SQL WHERE-Klauseln)
- Programmierlogik (if-Bedingungen)
- Suchmaschinen (boolesche Suchanfragen)
- Künstliche Intelligenz und maschinelles Lernen
Boolescher Operatoren — Übersicht
| Operator | Deutsch | Symbol | Beschreibung |
|---|---|---|---|
| AND | UND | & oder * | Wahr, wenn BEIDE Eingaben wahr sind |
| OR | ODER | | oder + | Wahr, wenn MINDESTENS EINE Eingabe wahr ist |
| NOT | NICHT | ! oder ~ | Kehrt den Wahrheitswert um |
| XOR | Exklusives ODER | ^ | Wahr, wenn GENAU EINE Eingabe wahr ist |
| NAND | UND-NICHT | NAND | Negation von AND |
| NOR | ODER-NICHT | NOR | Negation von OR |