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Ungleichungen lösen

Linear · Doppelt · Quadratisch · Rational · Polynomial

Lösen Sie jede Ungleichung Schritt für Schritt – sofort mit Intervallschreibweise, Vorzeichentabelle und Zahlenstrahl.

Schnellbeispiele

Form: ax + b OP c  (z. B. 2x + 3 > 7)

Was ist eine Ungleichung?

Eine Ungleichung ist eine mathematische Aussage, die zwei Terme mit einem Relationszeichen vergleicht: < (kleiner als), > (größer als), ≤ (kleiner oder gleich) oder ≥ (größer oder gleich). Anders als Gleichungen besitzen Ungleichungen meist unendlich viele Lösungen. Diese werden als Intervall oder Vereinigung mehrerer Intervalle auf dem Zahlenstrahl angegeben.

Ungleichungen begegnen uns überall im Alltag: Bei einem Budget dürfen die Ausgaben höchstens so hoch wie die Einnahmen sein, bei einer Geschwindigkeitsbegrenzung darf das Tempo den Grenzwert nicht überschreiten, und technische Toleranzen verlangen, dass ein Maß innerhalb eines Bereichs bleibt. Das Lösen von Ungleichungen ist deshalb grundlegend für Algebra, Analysis und angewandte Mathematik.

Arten von Ungleichungen

Lineare Ungleichungen

Eine lineare Ungleichung hat die Form ax + b > c oder verwendet ein anderes Relationszeichen. Die Lösung ist ein einzelner Strahl auf dem Zahlenstrahl. Isolieren Sie x wie bei einer linearen Gleichung. Beachten Sie dabei: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden.

Doppelte (zweiseitige) Ungleichungen

Eine doppelte Ungleichung wie a < bx + c ≤ d stellt gleichzeitig zwei Bedingungen an x. Führen Sie auf allen drei Seiten dieselbe Rechenoperation aus. Die Lösung ist ein begrenztes Intervall, das abhängig von den Relationszeichen offen, geschlossen oder halboffen ist.

Quadratische Ungleichungen

Eine quadratische Ungleichung hat die Form ax² + bx + c > 0. Bestimmen Sie zuerst die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Gleichung. Diese teilen den Zahlenstrahl in Intervalle; durch Einsetzen eines Testwerts wird das Vorzeichen in jedem Intervall ermittelt. Die Diskriminante D = b² − 4ac bestimmt die Anzahl der reellen Nullstellen und damit die Form der Lösung.

DiskriminanteNullstellenLösung für ax²+bx+c > 0 (a>0)
D > 0Zwei verschiedene reelle Nullstellen r₁, r₂(-∞; r₁) ∪ (r₂; +∞)
D = 0Eine doppelte Nullstelle r(-∞; r) ∪ (r; +∞)
D < 0Keine reellen NullstellenAlle reellen Zahlen (-∞; +∞)

Rationale Ungleichungen

Eine rationale Ungleichung enthält einen Bruch mit x im Nenner, beispielsweise (ax+b)/(cx+d) > 0. Kritische Punkte entstehen sowohl durch die Nullstellen des Zählers als auch durch die Nullstellen des Nenners. Nennernullstellen sind Definitionslücken und stets ausgeschlossen. Eine Vorzeichentabelle zeigt, in welchen Intervallen der Bruch positiv oder negativ ist.

Polynomiale Ungleichungen

Eine polynomiale Ungleichung dritten oder höheren Grades wird gelöst, indem man alle reellen Nullstellen bestimmt und eine Vorzeichentabelle aufstellt. Bei einfachen Nullstellen wechselt das Vorzeichen zwischen benachbarten Intervallen; an einer Nullstelle mit gerader Vielfachheit bleibt es gleich.

Intervallschreibweise verstehen

  • ( ) runde Klammern — der Randwert ist ausgeschlossen (strenge Ungleichung < oder >)
  • [ ] eckige Klammern — der Randwert ist enthalten (nicht strenge Ungleichung ≤ oder ≥)
  • ∞ steht immer mit einer runden Klammer — Unendlich kann nie erreicht werden
  • ∪ Vereinigung — verbindet zwei oder mehr getrennte Lösungsintervalle
  • ∅ leere Menge — die Ungleichung hat keine Lösung
  • (-∞; +∞) — alle reellen Zahlen

Anwendungen im Alltag

  • Budgetplanung: Wer 50 € pro Stunde verdient und mindestens 200 € pro Woche benötigt, erhält aus 50h ≥ 200 die Bedingung h ≥ 4 Stunden.
  • Geschwindigkeitsgrenzen: Gilt auf einer Straße ein Tempolimit von 100 km/h, beschreibt 0 ≤ v ≤ 100 den zulässigen Bereich als doppelte Ungleichung.
  • Technische Toleranzen: Der Durchmesser einer Schraube muss etwa |d − 10| ≤ 0,05 mm erfüllen – eine Betragsungleichung.
  • Gewinnanalyse: Gewinn = −x² + 100x − 1200 > 0 bestimmt den Produktionsbereich, in dem ein Unternehmen profitabel arbeitet.
  • Physik (Wurfbewegung): −16t² + 64t > 0 liefert das Zeitintervall, in dem sich ein Wurfkörper oberhalb des Bodens befindet.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Intervallschreibweise und wie liest man sie?
Die Intervallschreibweise beschreibt eine Zahlenmenge mit runden und eckigen Klammern. Runde Klammern schließen einen Randwert aus, eckige Klammern schließen ihn ein. Beispielsweise bedeutet (2; 5], dass 2 < x ≤ 5 gilt. Bei Unendlich stehen immer runde Klammern. Das Vereinigungszeichen ∪ verbindet getrennte Intervalle wie (−∞; 1) ∪ (3; +∞).
Wie löst man eine quadratische Ungleichung wie x²−5x+6 < 0?
Bestimmen Sie die Nullstellen: x²−5x+6=0 lässt sich als (x−2)(x−3)=0 faktorisieren. Damit sind x=2 und x=3 die Nullstellen. Weil die Parabel für a=1>0 nach oben geöffnet ist, ist sie zwischen den Nullstellen negativ. Somit gilt x²−5x+6 < 0 für x ∈ (2; 3). Die Randwerte sind wegen des strengen Zeichens < ausgeschlossen.
Was ist eine Vorzeichentabelle und wann benötigt man sie?
Eine Vorzeichentabelle zeigt das Vorzeichen (+, − oder 0) einer Funktion in jedem Intervall zwischen kritischen Punkten. Sie hilft bei quadratischen, rationalen und polynomialen Ungleichungen. Tragen Sie Nullstellen und Definitionslücken ein, testen Sie pro Intervall einen Wert und lesen Sie ab, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
Wie löst man eine rationale Ungleichung wie (x−1)/(x+2) > 0?
Die kritischen Punkte sind die Zählernullstelle x=1 und die ausgeschlossene Nennernullstelle x=−2. Testwerte ergeben: Für x<−2 ist der Bruch positiv, für −2<x<1 negativ und für x>1 wieder positiv. Die Lösung lautet (−∞; −2) ∪ (1; +∞). x=−2 bleibt stets ausgeschlossen.
Was passiert beim Multiplizieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl?
Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden. So wird aus −2x > 6 nach der Division durch −2 die Ungleichung x < −3. Diese häufig übersehene Regel gilt für jede negative Zahl – ganze Zahl, Bruch oder Dezimalzahl.
Wie löst man eine doppelte Ungleichung wie −3 < 2x−1 ≤ 5?
Führen Sie dieselbe Rechenoperation gleichzeitig auf allen drei Seiten aus. Addieren Sie 1: −2 < 2x ≤ 6. Dividieren Sie durch 2: −1 < x ≤ 3. Die Lösung ist (−1; 3]. Links ist das Intervall wegen < offen, rechts wegen ≤ geschlossen.
Kann eine quadratische Ungleichung keine Lösung oder alle reellen Zahlen als Lösung haben?
Ja. Für ax² + bx + c > 0 mit der Diskriminante D = b²−4ac gilt: Ist D < 0 und a > 0, liegt die Parabel vollständig oberhalb der x-Achse und alle reellen Zahlen lösen die Ungleichung. Bei D < 0 und a < 0 gibt es keine Lösung (∅). Für D = 0 berührt die Parabel die x-Achse in einer doppelten Nullstelle.

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