Rechner für quadratische Ergänzung

Was bedeutet quadratische Ergänzung?

Die quadratische Ergänzung ist ein grundlegendes Verfahren der Algebra. Es formt einen quadratischen Ausdruck ax²+bx+c in die gleichwertige Scheitelpunktform a(x−h)²+k um. Der Name geht auf die geometrische Vorstellung zurück, ein unvollständiges Quadrat durch das fehlende Teilstück zu ergänzen. Das Verfahren macht den Scheitelpunkt einer Parabel direkt sichtbar und bildet zugleich die Grundlage für die Herleitung der Mitternachtsformel.

Warum ist die quadratische Ergänzung wichtig?

Zum reinen Berechnen von Nullstellen ist die Mitternachtsformel oft schneller. Die quadratische Ergänzung bietet jedoch zusätzliche Vorteile:

• Herleitung der Mitternachtsformel: Wendet man das Verfahren auf ax²+bx+c = 0 an, erhält man unmittelbar x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a).
• Scheitelpunktform zum Zeichnen: Aus a(x−h)²+k lassen sich der Scheitelpunkt (h, k) und die Symmetrieachse x = h ohne weitere Rechnung ablesen.
• Optimierungsaufgaben: Bei quadratischen Modellen in Wirtschaft und Physik liegt der maximale oder minimale Wert im Scheitelpunkt.
• Integration in der Analysis: Integrale mit quadratischen Nennern werden häufig durch quadratische Ergänzung auf bekannte Arkustangens- oder Logarithmusformen zurückgeführt.
• Kegelschnitte: In zwei Variablen bringt die quadratische Ergänzung allgemeine Gleichungen zweiten Grades in die Standardform eines Kreises, einer Ellipse oder einer Hyperbel.

Algorithmus Schritt für Schritt

Für ax²+bx+c mit a ≠ 0 gilt:

• Schritt 1 – a ausklammern: a(x² + (b/a)x) + c
• Schritt 2 – Hälfte des x-Koeffizienten bestimmen: b/(2a)
• Schritt 3 – das Quadrat dieser Hälfte addieren und subtrahieren: a(x² + (b/a)x + (b/(2a))² − (b/(2a))²) + c
• Schritt 4 – als binomisches Quadrat schreiben: a(x + b/(2a))² − a·(b/(2a))² + c
• Schritt 5 – Konstanten zusammenfassen: k = c − b²/(4a) und h = −b/(2a), also a(x − h)² + k

Die Gleichung ax²+bx+c = 0 lösen

In der Scheitelpunktform a(x−h)²+k = 0 wird zunächst der quadratische Term isoliert:

• (x−h)² = −k/a
• Für −k/a ≥ 0 gilt x = h ± √(−k/a): Es gibt zwei reelle Nullstellen oder bei −k/a = 0 eine doppelte Nullstelle.
• Für −k/a < 0 gibt es keine reellen Nullstellen, sondern das komplex konjugierte Paar x = h ± i·√(k/a).

Diskriminante und Art der Nullstellen

Diskriminante D = b²−4ac	Nullstellen	Lage der Parabel
D > 0	2 verschiedene reelle Nullstellen	Schneidet die x-Achse in 2 Punkten
D = 0	1 doppelte reelle Nullstelle	Der Scheitelpunkt berührt die x-Achse
D < 0	0 reelle Nullstellen (2 komplexe)	Liegt vollständig oberhalb (a>0) oder unterhalb (a<0) der x-Achse

Anwendungen der Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform a(x−h)²+k ist in vielen Bereichen nützlich. In der Physik beschreibt etwa h(t) = −16t²+v₀t+h₀ die Höhe eines Wurfkörpers; nach quadratischer Ergänzung sind Zeitpunkt und Höhe des Maximums direkt ablesbar. In der Wirtschaft liegt das Minimum einer Kostenfunktion oder das Maximum einer Erlösfunktion bei x = h. In der Technik werden Parabolantennen und Spiegel anhand ihrer Scheiteleigenschaften konstruiert. Auch Computergrafik und Simulationen nutzen quadratische Kurven für Bahnen und Animationen.

Schnellübersicht mit Beispielen

Ausdruck	Scheitelpunktform	Scheitelpunkt (h, k)	Nullstellen
x²+6x+5	(x+3)²−4	(−3, −4)	x=−1, x=−5
2x²−8x+3	2(x−2)²−5	(2, −5)	x=2±√(5/2)
x²+4x+8	(x+2)²+4	(−2, 4)	keine reellen Nullstellen
−x²+6x−9	−(x−3)²	(3, 0)	x=3 (doppelt)
3x²+12x−15	3(x+2)²−27	(−2, −27)	x=1, x=−5