Betragsgleichungen und Betragsungleichungen lösen
Gleichungen · Ungleichungen · doppelte Beträge · Schritt für Schritt
Lösen Sie |ax+b| = c, Kleiner- und Größer-Ungleichungen sowie Gleichungen mit zwei Beträgen anhand vollständiger Rechenschritte und einer Darstellung auf dem Zahlenstrahl.
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Schnellbeispiele
Lösung Schritt für Schritt
Darstellung auf dem Zahlenstrahl
Grün = Lösungsmenge
Lösung in mehreren Schreibweisen
Was ist der Betrag?
Der Betrag einer reellen Zahl x, geschrieben |x|, misst ihren Abstand von null auf dem Zahlenstrahl und ist stets nichtnegativ. Formal ist er abschnittsweise definiert:
|x| = x für x ≥ 0 |x| = −x für x < 0
Gleichwertig gilt |x| = max(x, −x) = √(x²). Geometrisch ist |x| die Entfernung zwischen x und 0; deshalb gilt |5| = 5 und |−5| = 5. Bei Termen misst |ax + b| den Abstand von ax + b zu null und ist daher für Toleranzen, Fehleranalysen und Nebenbedingungen zentral.
|ax + b| = c lösen (Gleichung)
Grundlegend gilt: |Term| = c besitzt nur für c ≥ 0 Lösungen. Nach der Definition werden zwei Fälle unterschieden:
- Fall 1 (positiver Zweig): ax + b = c → x = (c − b) / a
- Fall 2 (negativer Zweig): ax + b = −c → x = (−c − b) / a
Für a = 0 wird die Gleichung zu |b| = c. Sie gilt für alle x, wenn |b| = c erfüllt ist, andernfalls für kein x. Prüfen Sie jede Lösung durch Einsetzen.
|ax + b| < c lösen (Kleiner-Ungleichung)
Eine Betragsungleichung mit „kleiner als“ bedeutet: „Der Term liegt weniger als c Einheiten von null entfernt.“ Sie entspricht der Doppelungleichung:
−c < ax + b < c
Lösen Sie beide Teile gleichzeitig nach x auf. Die Lösung ist ein beschränktes offenes Intervall mit Mittelpunkt x = −b/a und Radius c/|a|. Für c ≤ 0 gibt es keine Lösung. Der Zahlenstrahl zeigt einen markierten Abschnitt zwischen zwei offenen Randpunkten.
|ax + b| > c lösen (Größer-Ungleichung)
Eine Größer-Ungleichung bedeutet: „Der Term liegt mehr als c Einheiten von null entfernt.“ Teilen Sie sie in zwei Ungleichungen auf:
ax + b > c ODER ax + b < −c
Die Lösung ist die Vereinigung zweier Strahlen: (−∞, x₁) ∪ (x₂, +∞). Für c < 0 ist jede reelle Zahl eine Lösung, da der Betrag stets ≥ 0 ist. Auf dem Zahlenstrahl erstreckt sich die Markierung von zwei offenen Punkten nach außen.
|ax + b| = |cx + d| lösen (zwei Beträge)
Sind zwei Beträge gleich, gilt |A| = |B| genau dann, wenn A = B oder A = −B:
- Fall 1: ax + b = cx + d → (a − c)x = d − b
- Fall 2: ax + b = −(cx + d) → (a + c)x = −d − b
Jeder Fall liefert höchstens eine Lösung. Sonderfälle treten auf, wenn a = c ist und Fall 1 zur Identität wird oder wenn a = −c ist und Fall 2 zur Identität wird.
Intervallschreibweise im Überblick
| Ungleichung | Bedeutung | Intervallschreibweise | Zahlenstrahl |
|---|---|---|---|
| |x| = 3 | x hat Abstand 3 von 0 | {-3, 3} | Zwei ausgefüllte Punkte |
| |x| < 3 | weniger als 3 von 0 entfernt | (-3, 3) | Offenes Intervall markiert |
| |x| ≤ 3 | höchstens 3 von 0 entfernt | [-3, 3] | Geschlossenes Intervall markiert |
| |x| > 3 | mehr als 3 von 0 entfernt | (-∞,-3) ∪ (3,+∞) | Zwei Strahlen nach außen |
| |x| ≥ 3 | mindestens 3 von 0 entfernt | (-∞,-3] ∪ [3,+∞) | Zwei geschlossene Strahlen nach außen |
Praktische Anwendungen
- Engineering tolerances: Ein Bauteil ist zulässig, wenn |Maß − Sollwert| ≤ ε gilt – unmittelbar eine Betragsungleichung.
- Error bounds: Messunsicherheit wird als |Messwert − wahrer Wert| ≤ Fehlerspanne beschrieben.
- Temperature control: Ein Thermostat hält einen Raum innerhalb von ±2°C um den Sollwert: |T − T₀| ≤ 2.
- Signalverarbeitung: Die Abweichung eines Signals von einem Referenzwert bleibt innerhalb eines Grenzwerts.
- Quality control: Teile werden verworfen, wenn ihr Gewicht um mehr als den Grenzwert von der Vorgabe abweicht: |w − w₀| > tol.
- Finance: Stop-Loss-Regeln lösen einen Ausstieg aus, wenn |Kurs − Einstieg| > Risikotoleranz gilt.