Polynom-Nullstellen-Rechner

Was ist ein Polynom und was sind seine Nullstellen?

Ein Polynom ist ein algebraischer Ausdruck der Form p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, wobei die Koeffizienten aₙ, …, a₀ reelle oder komplexe Zahlen sind und aₙ ≠ 0 gilt. Der Grad ist die höchste Potenz n mit einem von null verschiedenen Koeffizienten. Eine Nullstelle (auch Wurzel) ist ein Wert r mit p(r) = 0. Geometrisch entsprechen reelle Nullstellen den Schnittpunkten des Graphen y = p(x) mit der x-Achse.

Der Fundamentalsatz der Algebra

Der von Carl Friedrich Gauß 1799 streng bewiesene Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt. Daraus folgt: Ein Polynom vom Grad n besitzt in den komplexen Zahlen genau n Nullstellen, wenn Vielfachheiten mitgezählt werden. Somit gilt:

• Ein lineares Polynom (Grad 1) hat genau 1 Nullstelle.
• Ein quadratisches Polynom (Grad 2) hat genau 2 Nullstellen.
• Ein kubisches Polynom (Grad 3) hat genau 3 Nullstellen.
• Entsprechend hat ein Polynom vom Grad 6 genau 6 Nullstellen.

Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten treten nichtreelle komplexe Nullstellen nach dem Satz über konjugiert komplexe Nullstellen paarweise als a ± bi auf. Deshalb besitzt jedes reelle Polynom ungeraden Grades mindestens eine reelle Nullstelle.

Lösung nach Grad: Formeln und Methoden

Grad 1 — Lineare Gleichung

Für ax + b = 0 lautet die einzige Nullstelle x = −b/a. Lineare Gleichungen lassen sich mit den Grundrechenarten lösen.

Grad 2 — Mitternachtsformel

Die durch quadratische Ergänzung hergeleitete Mitternachtsformel für ax² + bx + c = 0 lautet:

x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)

Der Ausdruck Δ = b²−4ac heißt Diskriminante. Für Δ > 0 gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen, für Δ = 0 eine doppelte reelle Nullstelle und für Δ < 0 zwei konjugiert komplexe Nullstellen.

Grad 3 — Cardanische Formel

Die Cardanische Formel, die Gerolamo Cardano 1545 im Werk Ars Magna auf Grundlage der Arbeiten von Niccolò Tartaglia und Scipione del Ferro veröffentlichte, löst ax³ + bx² + cx + d = 0. Zunächst wird durch x = t − b/(3a) die reduzierte Gleichung t³ + pt + q = 0 erzeugt, wobei gilt:

• p = (3ac − b²) / (3a²)
• q = (2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³)

Die Diskriminante der kubischen Gleichung ist Δ = −4p³ − 27q². Für Δ > 0 gibt es drei verschiedene reelle Nullstellen; die trigonometrische Methode vermeidet dabei komplexe Kubikwurzeln. Bei Δ = 0 tritt eine mehrfache Nullstelle auf. Für Δ < 0 gibt es eine reelle und zwei konjugiert komplexe Nullstellen, die direkt mit der Cardanischen Formel berechnet werden.

Grad 4 — Ferrari-Verfahren

Das von Lodovico Ferrari, einem Schüler Cardanos, entdeckte Ferrari-Verfahren führt eine quartische Gleichung auf eine kubische Resolvente zurück. Für x⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 wird eine Hilfsvariable y eingeführt, quadratisch ergänzt und y mithilfe einer kubischen Gleichung bestimmt. Anschließend zerfällt das Polynom in zwei quadratische Faktoren. Dieser Rechner kombiniert die Ferrari-Resolvente mit der Cardanischen Formel und bestimmt so alle vier Nullstellen.

Grad 5–6 — Satz von Abel-Ruffini und numerische Verfahren

Der Satz von Abel-Ruffini besagt, dass es für Grad 5 und höher keine allgemeine algebraische Lösungsformel mit Wurzelausdrücken gibt. Für diese Grade nutzt der Rechner das Durand-Kerner-Verfahren, auch Weierstraß-Verfahren genannt. Es verbessert gleichzeitig n Startnäherungen in Richtung der n Nullstellen. Ausgehend von passend skalierten Einheitswurzeln werden alle Werte in jeder Iteration aktualisiert. Das Verfahren konvergiert quadratisch und erreicht meist innerhalb von 50 Iterationen Maschinengenauigkeit.

Vieta-Formeln

Die nach dem französischen Mathematiker François Viète benannten Vieta-Formeln verknüpfen die Koeffizienten eines Polynoms direkt mit symmetrischen Ausdrücken seiner Nullstellen. Für p(x) = aₙ(x−r₁)(x−r₂)…(x−rⁿ) gilt:

• Summe der Nullstellen: r₁ + r₂ + … + rⁿ = −aₙ₋₁ / aₙ
• Summe der Paarprodukte: ∑r₁r₂ = aₙ₋₂ / aₙ
• Produkt aller Nullstellen: r₁·r₂·…·rⁿ = (−1)ⁿ · a₀ / aₙ

Damit lässt sich das Ergebnis schnell prüfen: Summe und Produkt der berechneten Nullstellen müssen mit den entsprechenden Koeffizientenverhältnissen übereinstimmen.

Anwendungen der Polynom-Nullstellenberechnung

• Physik und Ingenieurwesen: Eigenfrequenzen schwingender Systeme, Pole von Übertragungsfunktionen und Eigenwertprobleme führen auf Polynomgleichungen.
• Computergrafik: Beim Raytracing erfordern Schnittpunkte mit Flächen wie Kugeln oder Tori das Lösen quartischer Gleichungen.
• Wirtschaft: Die Berechnung des internen Zinsfußes führt auf eine Polynomgleichung in (1+r).
• Signalverarbeitung: Für den Filterentwurf werden Nullstellen charakteristischer Polynome benötigt, um Pole und Nullstellen zu platzieren.
• Numerische Mathematik: Nullstellenverfahren sind Grundlage von Eigenwertalgorithmen, Gauß-Quadratur und Iterationsmethoden.
• Kurvenanpassung: Polynominterpolation und Regression liefern Polynome, deren Nullstellen die Nulldurchgänge eines Modells markieren.

Referenz: Diskriminanteninterpretation

Grad	Diskriminante Δ	Art der Nullstellen
2	Δ = b²−4ac > 0	Zwei verschiedene reelle Nullstellen
2	Δ = 0	Eine doppelte reelle Nullstelle
2	Δ < 0	Zwei konjugiert komplexe Nullstellen
3	Δ > 0	Drei verschiedene reelle Nullstellen
3	Δ = 0	Mindestens eine mehrfache Nullstelle
3	Δ < 0	Eine reelle und zwei konjugiert komplexe Nullstellen