Rechner für komplexe Zahlen
Arithmetik, Polarform, Betrag, Argument, Potenzen & mehr — mit Schritt-für-Schritt-Lösung
Arithmetische Operationen
Geben Sie zwei komplexe Zahlen ein und wählen Sie eine Operation.
Operation
Schnellbeispiele
Schritt für Schritt
Was ist eine komplexe Zahl?
Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form z = a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist, definiert durch i² = −1. Der Wert a heißt Realteil (Re(z)) und b heißt Imaginärteil (Im(z)). Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl mit b = 0, und jede rein imaginäre Zahl hat a = 0.
Geometrisch entspricht eine komplexe Zahl einem Punkt (a, b) in der Gauß'schen Zahlenebene (komplexen Ebene), wobei die horizontale Achse den Realteil und die vertikale Achse den Imaginärteil darstellt. Diese geometrische Interpretation macht Konzepte wie Betrag und Argument anschaulich.
Operationen mit komplexen Zahlen
Addition und Subtraktion
(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i
Addieren oder subtrahieren Sie die Realteile und die Imaginärteile jeweils unabhängig voneinander.
Multiplikation (FOIL-Methode)
= (ac − bd) + (ad + bc)i [denn i² = −1]
Multiplizieren Sie mithilfe des Distributivgesetzes aus und setzen Sie anschließend i² = −1 ein, um zu vereinfachen.
Division (Methode der konjugiert komplexen Zahl)
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, damit der Nenner reell wird.
Polarform komplexer Zahlen
Jede komplexe Zahl z = a + bi lässt sich in Polarform als z = r∠θ = r(cosθ + i sinθ) schreiben, wobei:
- r = |z| = √(a²+b²) der Betrag ist (Abstand vom Ursprung)
- θ = arg(z) = atan2(b, a) das Argument ist (Winkel zur positiven reellen Achse)
Die Umrechnung zurück in die kartesische Form lautet: a = r cosθ, b = r sinθ. Die Polarform ist besonders leistungsstark für die Multiplikation (Beträge multiplizieren, Argumente addieren) und für die Anwendung des Satzes von de Moivre.
Eulersche Formel
Die Eulersche Formel besagt: eⁱ𝛉 = cosθ + i sinθ. Das bedeutet, dass sich jede komplexe Zahl als z = reⁱ𝛉 schreiben lässt. Der berühmteste Spezialfall ist die Eulersche Identität: eⁱπ + 1 = 0, die die fünf fundamentalen Konstanten e, i, π, 1 und 0 miteinander verbindet. Mithilfe der Eulerschen Formel lässt sich die Exponentialfunktion einer komplexen Zahl leicht berechnen: e^(a+bi) = e^a × (cos b + i sin b).
Häufige Werte komplexer Zahlen
| Ausdruck | Kartesisch | Betrag | Argument | Polarform |
|---|---|---|---|---|
| i | 0 + 1i | 1 | 90° | 1∠90° |
| −i | 0 − 1i | 1 | −90° | 1∠−90° |
| −1 | −1 + 0i | 1 | 180° | 1∠180° |
| 1+i | 1 + 1i | √2 ≈ 1.4142 | 45° | √2∠45° |
| 3+4i | 3 + 4i | 5 | ≈53.13° | 5∠53.13° |
| eⁱπ | −1 + 0i | 1 | 180° | 1∠180° |
Anwendungen komplexer Zahlen
- Wechselstromanalyse: Die Impedanz in der Elektrotechnik wird als komplexe Zahl Z = R + jX ausgedrückt, wobei R der Widerstand und X die Reaktanz ist. Komplexe Arithmetik vereinfacht die Analyse von Wechselstromkreisen.
- Fourier-Transformation: Die Fourier-Transformation nutzt komplexe Exponentialfunktionen eⁱ𝛉, um Signale in Frequenzkomponenten zu zerlegen. Komplexe Zahlen sind grundlegend für die Signalverarbeitung und Kommunikationstechnik.
- Quantenmechanik: Wellenfunktionen in der Quantenmechanik sind komplexwertig. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude eines Teilchens ist eine komplexe Zahl, deren quadrierter Betrag die Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt.
- Fraktale (Mandelbrot-Menge): Die berühmte Mandelbrot-Menge wird definiert, indem man z → z² + c in der komplexen Ebene iteriert und prüft, ob die Folge beschränkt bleibt. Komplexe Iteration erzeugt beeindruckende fraktale Muster.
- Regelungstechnik: Die Pole und Nullstellen von Übertragungsfunktionen in der Regelungstechnik sind komplexe Zahlen. Ihre Lage in der komplexen Ebene bestimmt die Stabilität des Systems.