Definitionsbereich-und-Wertebereich-Rechner
Intervallschreibweise · Mengenschreibweise · Ungleichung · Graph
Bestimmen Sie sofort Definitionsbereich und Wertebereich von Polynomen, gebrochenrationalen, Wurzel-, Logarithmus-, trigonometrischen und Exponentialfunktionen – mit nachvollziehbarem Rechenweg und Graph.
Schnellbeispiele
Definitionsbereich in allen drei Schreibweisen
Schrittweise Herleitung
Funktionsgraph
Übersicht zu Definitions- und Wertebereichen
| Funktionstyp | Allgemeine Form | Definitionsbereich | Wertebereich |
|---|---|---|---|
| Polynom | axⁿ + bxⁿ⁻¹ + … | (-∞, ∞) | (-∞, ∞) bei ungeradem Grad; bei geradem Grad abhängig |
| Gebrochenrational | p(x) / q(x) | ℝ \ {Nullstellen von q} | Von der Funktion abhängig |
| Quadratwurzel | √(ax + b) | ax+b ≥ 0 → x ≥ −b/a | [0, ∞) |
| Kubikwurzel | ∛(ax + b) | (-∞, ∞) | (-∞, ∞) |
| Logarithmisch | log(ax + b) | ax+b > 0 → x > −b/a | (-∞, ∞) |
| Betrag | |ax + b| + c | (-∞, ∞) | [c, ∞) |
| Quadratisch | ax² + bx + c | (-∞, ∞) | [vertex_y, ∞) if a>0; (-∞, vertex_y] if a<0 |
| sin / cos | sin(x), cos(x) | (-∞, ∞) | [-1, 1] |
| tan | tan(x) | x ≠ π/2 + nπ | (-∞, ∞) |
| Exponentiell | a·bˣ + c | (-∞, ∞) | (c, ∞) if a>0 |
| Stückweise | f₁(x) für x<k; f₂(x) für x≥k | Vereinigung der Definitionsbereiche | Vereinigung der Wertebereiche |
Was ist der Definitionsbereich einer Funktion?
Der Definitionsbereich einer Funktion ist die vollständige Menge aller reellen Eingabewerte, also aller x-Werte, für die die Funktion einen gültigen reellen Ausgabewert liefert. Im Funktionsgraphen entspricht er allen x-Koordinaten, an denen die Kurve existiert. Den Definitionsbereich zu bestimmen gehört zu den ersten Schritten jeder Funktionsuntersuchung, weil er festlegt, innerhalb welcher Grenzen der Funktionsterm sinnvoll definiert ist.
Drei Grundregeln schränken den Definitionsbereich besonders häufig ein:
- Division durch null: Der Nenner eines gebrochenrationalen Terms darf niemals null sein. Alle x-Werte, die den Nenner zu null machen, werden ausgeschlossen.
- Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen: Im reellen Zahlensystem kann keine Quadratwurzel oder andere gerade Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden. Der Radikand muss daher nichtnegativ sein.
- Logarithmus einer nichtpositiven Zahl: Das Argument eines Logarithmus muss strikt positiv, also größer als null, sein.
Was ist der Wertebereich einer Funktion?
Der Wertebereich einer Funktion ist die vollständige Menge aller möglichen Ausgabewerte, also aller y-Werte, die für Eingaben aus dem Definitionsbereich entstehen können. Im Graphen entspricht er sämtlichen y-Koordinaten, die die Kurve erreicht. Seine Bestimmung erfordert häufig mehr Analyse als die des Definitionsbereichs, weil das Verhalten der Funktion im gesamten Definitionsbereich, an Randstellen und in der Nähe von Asymptoten berücksichtigt werden muss.
Intervallschreibweise einfach erklärt
Die Intervallschreibweise ist die übliche kompakte Darstellung von Mengen reeller Zahlen bei Definitions- und Wertebereichen:
- (a, b) – offenes Intervall: alle x mit a < x < b; die Randwerte gehören nicht dazu.
- [a, b] – geschlossenes Intervall: alle x mit a ≤ x ≤ b; beide Randwerte sind enthalten.
- [a, b) – halboffenes Intervall: a ≤ x < b.
- (a, ∞) – alle x größer als a; bei ∞ steht immer eine runde Klammer.
- (-∞, ∞) – alle reellen Zahlen.
- A ∪ B – Vereinigung: alle Werte aus A oder B, etwa bei einer Lücke im Definitionsbereich.
Häufige Funktionstypen im Überblick
| Funktion | Definitionsbereich | Wertebereich | Entscheidende Einschränkung |
|---|---|---|---|
| 1/(x − 3) | (-∞,3)∪(3,∞) | (-∞,0)∪(0,∞) | Nenner ≠ 0 |
| √(2x − 4) | [2, ∞) | [0, ∞) | Radikand ≥ 0 |
| log(x + 5) | (-5, ∞) | (-∞, ∞) | Argument > 0 |
| x² − 4 | (-∞, ∞) | [-4, ∞) | keine |
| |x + 2| − 1 | (-∞, ∞) | [-1, ∞) | keine |
| tan(x) | x ≠ π/2 + nπ | (-∞, ∞) | cos(x) ≠ 0 |
| 2ˣ + 1 | (-∞, ∞) | (1, ∞) | waagerechte Asymptote y=1 |
Warum die Analyse des Definitionsbereichs wichtig ist
Ein korrekt bestimmter Definitionsbereich verhindert, dass Werte eingesetzt werden, die zu nicht definierten oder nichtreellen Ergebnissen führen. In der Analysis legt er fest, wo beispielsweise die Ableitung einer Funktion existieren kann. In Naturwissenschaft und Technik entsprechen Einschränkungen häufig realen Bedingungen: Eine Quadratwurzel kann den Radius eines Kreises modellieren und benötigt eine nichtnegative Fläche; eine gebrochenrationale Funktion kann einen Widerstand beschreiben, bei dem eine Division durch null ausgeschlossen ist.
Gebrochenrationale Funktionen und Asymptoten
Hat eine gebrochenrationale Funktion f(x)=p(x)/q(x) eine Nullstelle von q(x), die nicht zugleich Nullstelle von p(x) ist, besitzt ihr Graph an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote. Enthalten Zähler und Nenner dagegen denselben Faktor, entsteht eine Lücke, also eine hebbare Unstetigkeitsstelle, statt einer Asymptote. Der Rechner ermittelt die Nullstellen des Nenners und kennzeichnet solche Stellen im Graphen mit gestrichelten Linien oder offenen Kreisen.
Stückweise definierte Funktionen
Eine stückweise definierte Funktion verwendet auf verschiedenen Teilen des Definitionsbereichs unterschiedliche Terme. Der gesamte Definitionsbereich ist die Vereinigung aller Teilbereiche; der Wertebereich ist die Vereinigung der jeweiligen Teilwertebereiche. Für f(x)=x bei x<0 und f(x)=x² bei x≥0 ist der Definitionsbereich beispielsweise (-∞,∞). Der Wertebereich ergibt sich aus den negativen Werten des ersten Teils und den nichtnegativen Werten des zweiten Teils und umfasst daher ebenfalls alle reellen Zahlen.
Anwendungen von Definitions- und Wertebereich
- Physik: Bei der Wurfhöhe h(t)=−16t²+v₀t+h₀ gilt in einem realen Modell t≥0, weil Zeit nicht negativ ist. Der Wertebereich reicht von 0 bis zur maximalen Höhe.
- Wirtschaft: Nachfragefunktionen gelten nur für positive Mengen und Preise. Definitions- und Wertebereich werden daher auf positive reelle Zahlen eingeschränkt.
- Computergrafik: Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen werden auf feste Wertebereiche begrenzt, damit Rotationsberechnungen eindeutige Ergebnisse liefern.
- Signalverarbeitung: Logarithmische Funktionen modellieren Dezibelwerte. Die Bedingung Argument > 0 lässt nur positive Signalamplituden als Eingabe zu.
- Statistik: Wahrscheinlichkeitsdichten können über der gesamten reellen Achse definiert sein, nehmen aber nur nichtnegative Werte an; der Wertebereich einer Verteilungsfunktion liegt in [0,1].