Geradengleichung-Rechner für y = mx + b
Zwischen y = mx + b, allgemeiner Form, Zweipunkte- und Punkt-Steigungs-Form umrechnen – mit interaktivem Graphen
Koeffizienten für Ax + By = C eingeben
Geradengraph
Umrechnungsformeln im Überblick
Allgemeine Form → Steigungsform
Ax + By = C
m = −A/B | b = C/B
Ax + By = C
m = −A/B | b = C/B
Steigungsform → allgemeine Form
y = mx + b
Multiply by LCD, keep A > 0
y = mx + b
Multiply by LCD, keep A > 0
Zwei Punkte → Steigung
m = (y₂−y₁) / (x₂−x₁)
b = y₁ − m·x₁
m = (y₂−y₁) / (x₂−x₁)
b = y₁ − m·x₁
Parallel & senkrecht
Parallel: m₂ = m₁
Senkrecht: m₂ = −1/m₁
Parallel: m₂ = m₁
Senkrecht: m₂ = −1/m₁
Was ist die Steigungsform y = mx + b?
Die Steigungsform ist die Gleichung y = mx + b, wobei m die Steigung der Geraden und b der y-Achsenabschnitt ist, also der Schnittpunkt mit der vertikalen Achse. Diese Form einer linearen Gleichung wird besonders häufig verwendet, weil sich beide wichtigen Eigenschaften der Geraden ohne weitere Umformung direkt ablesen lassen.
Die Steigung m gibt an, wie steil die Gerade ist und in welche Richtung sie verläuft. Bei positiver Steigung steigt sie von links nach rechts, bei negativer fällt sie. Der Betrag von m beschreibt die vertikale Änderung je Einheit nach rechts. m = 2 bedeutet beispielsweise: zwei Einheiten nach oben pro einer Einheit nach rechts.
Der y-Achsenabschnitt b verankert die Gerade im Koordinatensystem. Er ist der y-Wert bei x = 0; der Punkt (0; b) kann daher sofort eingezeichnet werden. Von dort lässt sich die Gerade mithilfe der Steigung konstruieren. Deshalb eignet sich y = mx + b besonders gut für Graphen, Kostenfunktionen, Weg-Zeit-Beziehungen und andere lineare Modelle.
Formen linearer Gleichungen im Vergleich
| Form | Gleichung | Besonders geeignet |
|---|---|---|
| Steigungsform | y = mx + b | Graph zeichnen sowie Steigung und Achsenabschnitt direkt ablesen |
| Allgemeine Form | Ax + By = C | Ganzzahlige Koeffizienten und schnelle Bestimmung beider Achsenabschnitte |
| Punkt-Steigungs-Form | y − y₁ = m(x − x₁) | Gleichung aus einem Punkt und einer bekannten Steigung aufstellen |
| Achsenabschnittsform | x/a + y/b = 1 | Wenn x- und y-Achsenabschnitt bekannt sind |
So verwendest du den Rechner
- Wähle die Ansicht passend zu deinen Angaben: allgemeine Form, Steigungsform, zwei Punkte, Punkt + Steigung oder parallel & senkrecht.
- Gib deine Werte in die Eingabefelder ein. Für nicht ganzzahlige Steigungen und Achsenabschnitte werden Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt unterstützt.
- Klicke auf Berechnen. Darunter erscheinen sofort Kennwerte, beide Gleichungsformen und der vollständige Rechenweg.
- Scrolle zum Geradengraph , um die Gerade mit beschrifteten Achsenabschnitten und Steigungsdreieck zu sehen.
- Nutze die Schaltfläche Beispiel , um automatisch Beispielwerte einzutragen.
Umrechnungsformeln mit Rechenbeispielen
Allgemeine Form in Steigungsform – Beispiel
Gegeben: 2x + 3y = 12:
- Auf beiden Seiten 2x subtrahieren:
3y = −2x + 12 - Jeden Term durch B = 3 teilen:
y = −(2/3)x + 4 - Ergebnis: Steigung m = −2/3, y-Achsenabschnitt b = 4, x-Achsenabschnitt = 6
Aus zwei Punkten die Gleichung bestimmen – Beispiel
Gegeben: (1, 3) und (4, 9):
- Steigung: m = (9 − 3) / (4 − 1) = 6/3 = 2
- Punkt (1; 3) einsetzen: 3 = 2(1) + b ⇒ b = 1
- Steigungsform: y = 2x + 1
- Allgemeine Form: −2x + y = 1 ⇒ mit −1 multiplizieren: 2x − y = −1
Punkt-Steigungs-Form in Steigungsform – Beispiel
Gegeben sind der Punkt (3; 5) und die Steigung m = 2:
- Punkt-Steigungs-Form: y − 5 = 2(x − 3)
- Ausmultiplizieren: y − 5 = 2x − 6
- 5 addieren: y = 2x − 1. Damit ist b = −1.
Geradengraph richtig interpretieren
- Positive Steigung (m > 0): Die Gerade steigt von links nach rechts und wird mit wachsendem m steiler.
- Negative Steigung (m < 0): Die Gerade fällt von links nach rechts und wird mit wachsendem |m| steiler.
- Steigung null (m = 0): Waagerechte Gerade y = b ohne vertikale Änderung.
- Nicht definierte Steigung: Senkrechte Gerade x = a; sie lässt sich nicht als y = mx + b schreiben.
- y-Achsenabschnitt (0; b): Schnittpunkt mit der y-Achse, also x = 0.
- x-Achsenabschnitt (−b/m, 0): Schnittpunkt mit der x-Achse; dazu y = 0 setzen und nach x lösen.
- Steigungsdreieck: Das orange Dreieck veranschaulicht die Steigung: m Einheiten vertikale Änderung je einer horizontalen Einheit.
Anwendungsbeispiele für y = mx + b
- Kostenfunktion: Ein Installateur berechnet 50 € Anfahrtspauschale plus 80 € je Stunde. Gesamtkosten:
y = 80x + 50. Steigung = 80 (Kosten pro Stunde), y-Achsenabschnitt = 50 (Grundgebühr). - Weg-Zeit-Modell: Ein Auto fährt mit 60 km/h und startet 20 km vom Ausgangspunkt entfernt:
d = 60t + 20. Steigung = 60 (Geschwindigkeit), y-Achsenabschnitt = 20 (Anfangsentfernung). - Temperaturumrechnung: Celsius aus Fahrenheit:
C = (5/9)F − 160/9. Steigung = 5/9, b ≈ −17,78 (der Celsiuswert von 0 °F). - Wertverlust: Eine Maschine im Wert von 10.000 € verliert jährlich 1.000 €:
V = −1000t + 10000. Steigung = −1000, y-Achsenabschnitt = 10.000 (Anfangswert).
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Steigungsform y = mx + b?
Die Steigungsform lautet y = mx + b. Dabei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt, also der y-Wert bei x = 0. Da beide Größen direkt ablesbar sind, eignet sich die Form besonders zum Zeichnen und Analysieren linearer Zusammenhänge.
Wofür steht m in y = mx + b?
m ist die Steigung der Geraden, also das Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Änderung zwischen zwei Punkten. Bei positivem m steigt die Gerade, bei negativem fällt sie. Für m = 0 ist sie waagerecht; ein größerer Betrag von m bedeutet eine steilere Gerade.
Wie berechne ich die Steigung aus zwei Punkten?
Verwende m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Für (1, 3) und (4, 9) gilt m = (9 − 3) / (4 − 1) = 2. Setze anschließend einen Punkt in y = mx + b ein: 3 = 2(1) + b, also b = 1 und y = 2x + 1.
Was unterscheidet Steigungsform und allgemeine Form?
Die Steigungsform y = mx + b zeigt m und b direkt und eignet sich besonders zum Zeichnen. Die allgemeine Form Ax + By = C verwendet meist ganzzahlige Koeffizienten und ist für algebraische Umformungen praktisch. Beide Formen beschreiben dieselbe Gerade.
Was ist eine nicht definierte Steigung bei einer senkrechten Geraden?
Eine senkrechte Gerade wie x = 3 hat keine definierte Steigung, weil die horizontale Änderung null ist und der Steigungsquotient eine Division durch null enthielte. Sie lässt sich nicht als y = mx + b schreiben, in allgemeiner Form aber beispielsweise als 1x + 0y = 3.
Was bedeutet Steigung null bei einer waagerechten Geraden?
Bei m = 0 ist die Gerade waagerecht und die Gleichung vereinfacht sich zu y = b. Jeder Punkt besitzt denselben y-Wert. Beispielsweise liegt y = 5 fünf Einheiten über der x-Achse. Einen x-Achsenabschnitt gibt es nur für b = 0.
Wie hängen die Steigungen paralleler und senkrechter Geraden zusammen?
Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Bei senkrechten Geraden sind die Steigungen negative Kehrwerte: m₁ × m₂ = −1. Zu m = 3 gehört senkrecht m = −1/3. Zur waagerechten Geraden ist die Senkrechte vertikal und hat keine definierte Steigung.
Wie forme ich Ax + By = C in y = mx + b um?
Subtrahiere Ax auf beiden Seiten: By = −Ax + C. Teile dann jeden Term durch B: y = (−A/B)x + C/B. Damit gilt m = −A/B und b = C/B. Beispiel: 2x + 3y = 12 ⇒ 3y = −2x + 12 ⇒ y = (−2/3)x + 4. Für B = 0 ist die Gerade senkrecht.