Graph für lineare Ungleichungssysteme
Zulässiger Bereich · Eckpunkte · Lineare Optimierung · Bis zu 5 Nebenbedingungen
Gib bis zu fünf lineare Ungleichungen ein, zeichne alle Randgeraden und Halbebenen und erkenne sofort den gemeinsamen zulässigen Bereich mit beschrifteten Eckpunkten – ideal für lineare Optimierung.
Vorlagen
Ungleichungen
Verwende die Zeichen <=, >=, < und >Graph
Scrollen zum Zoomen · Ziehen zum Verschieben · Darüberfahren für Koordinaten
Legende
Eckpunkte
Punkt testen
Was ist ein Ungleichungssystem?
Ein Ungleichungssystem besteht aus mindestens zwei Ungleichungen mit denselben Variablen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Anders als ein Gleichungssystem mit einzelnen Lösungen beschreibt es im Koordinatensystem meist einen Bereich, den zulässigen Bereich. Jeder Punkt darin erfüllt sämtliche Nebenbedingungen zugleich.
Ungleichungssysteme entstehen bei praktischen Aufgaben mit mehreren konkurrierenden Bedingungen. Ein Betrieb kann etwa durch Arbeitsstunden (2x + y ≤ 40), Maschinenkapazität (x + 3y ≤ 45) und Nichtnegativität (x ≥ 0, y ≥ 0) beschränkt sein. Alle Produktionspläne, die jede Bedingung erfüllen, bilden den zulässigen Bereich.
Grafisch teilt jede lineare Ungleichung mit zwei Variablen die Ebene durch eine Randgerade in zwei Halbebenen. Die Randgerade wird bei nicht strengen Ungleichungen (≤, ≥) durchgezogen gezeichnet, weil Randpunkte dazugehören, und bei strengen Ungleichungen (<, >) gestrichelt , weil Randpunkte ausgeschlossen sind. Eine einzelne Ungleichung beschreibt eine Halbebene; beim System ist der zulässige Bereich die Schnittmenge aller Halbebenen.
So verwendest du den Graphen
- Ungleichungen eingeben in Standardschreibweise, beispielsweise
y >= 2x + 1,3x + 2y <= 12,x >= 0. Tippe<=für ≤ und>=für ≥. - Auf „System zeichnen“ klicken , um alle Randgeraden, einzelnen Halbebenen und den gemeinsamen zulässigen Bereich als dunklere grüne Fläche darzustellen.
- Eckpunkte ablesen in der Tabelle unter dem Graphen. Jeder Eckpunkt ist ein Schnittpunkt zweier Randgeraden, der zugleich alle Bedingungen erfüllt.
- Punkt testen : Gib beliebige Koordinaten (x; y) ein und prüfe, ob sie alle Ungleichungen gleichzeitig erfüllen.
- Zoomen und verschieben : Scrolle oder ziehe auf der Zeichenfläche, um unbeschränkte Bereiche zu untersuchen.
Eckpunkte und ihre Bedeutung
Die Eckpunkte des zulässigen Bereichs sind Schnittpunkte von mindestens zwei Randgeraden, die innerhalb aller Nebenbedingungen liegen. Algebraisch werden sämtliche Paare von Randgleichungen gelöst und die gefundenen Punkte anschließend gegen alle Ungleichungen geprüft.
Eckpunkte spielen eine zentrale Rolle in der linearen Optimierung: Der Hauptsatz der linearen Optimierung garantiert, dass eine optimale Lösung einer linearen Zielfunktion über einem beschränkten zulässigen Bereich an einem Eckpunkt angenommen wird. Eine lineare Funktion wie P = 5x + 3y muss daher nur an jedem Eckpunkt ausgewertet werden; der beste Wert ist das Optimum – ganz ohne Analysis.
Lineare Optimierung kurz erklärt
Lineare Optimierung ist ein Verfahren aus Wirtschaft, Technik, Logistik und Ökonomie. Ein solches Problem besteht aus:
- Entscheidungsvariablen (x; y): die steuerbaren Größen.
- Zielfunktion (z. B. P = 5x + 3y maximieren): die zu optimierende Größe.
- Nebenbedingungen: lineare Ungleichungen wie Ressourcenobergrenzen und Nichtnegativitätsbedingungen.
Das grafische Verfahren eignet sich besonders für zwei Variablen. Zeichne alle Nebenbedingungen, bestimme den zulässigen Bereich und seine Eckpunkte und werte die Zielfunktion an jedem Eckpunkt aus, um Maximum oder Minimum zu finden.
Rechenbeispiel
Betrachte das System: x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 7.
y >= 0
2x + y <= 8
x + 2y <= 7
Zu prüfende Schnittpunkte der Randgeraden:
| Randgeraden | Schnittpunkt | Erfüllt alle? |
|---|---|---|
| x = 0 & y = 0 | (0; 0) | Ja → Eckpunkt |
| x = 0 & x + 2y = 7 | (0, 3.5) | Ja → Eckpunkt |
| y = 0 & 2x + y = 8 | (4; 0) | Ja → Eckpunkt |
| 2x + y = 8 & x + 2y = 7 | (3; 2) | Ja → Eckpunkt |
Die vier Eckpunkte lauten (0; 0), (4; 0), (3; 2), (0; 3,5). Soll die Zielfunktion P = 3x + 4y maximiert werden, ergibt die Auswertung P(0; 0)=0, P(4; 0)=12, P(3; 2)=17 und P(0; 3,5)=14. Das Maximum ist P = 17 bei (3; 2). Lade dieses Beispiel über die Vorlage „Einfache Optimierung“.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der zulässige Bereich eines Ungleichungssystems?
Der zulässige Bereich enthält alle Punkte (x; y), die jede Ungleichung des Systems gleichzeitig erfüllen. Grafisch ist er die Überlappung aller markierten Halbebenen. Gibt es keine gemeinsame Fläche, ist das System unlösbar und der Bereich leer.
Wie bestimmt man die Eckpunkte eines zulässigen Bereichs?
Löse für jedes Paar von Randgeraden das zugehörige 2×2-Gleichungssystem und prüfe anschließend, ob der Schnittpunkt alle Ungleichungen erfüllt. Nur Punkte, die diese Prüfung bestehen, sind Eckpunkte des zulässigen Bereichs.
Was geschieht, wenn kein zulässiger Bereich existiert?
Widersprechen sich die Ungleichungen, etwa x ≥ 5 und x ≤ 2, kann kein Punkt alle Bedingungen erfüllen. Die Flächen überlappen sich nicht, es gibt keine Eckpunkte und das Optimierungsproblem ist unter den gegebenen Bedingungen unzulässig.
Was ist lineare Optimierung und warum sind Eckpunkte wichtig?
Lineare Optimierung maximiert oder minimiert eine lineare Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen. Nach dem Hauptsatz liegt ein optimaler Wert an einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs. Daher genügt es, die Zielfunktion an allen Eckpunkten auszuwerten und die Werte zu vergleichen.
Wie entscheidet der Graph, welche Seite einer Geraden markiert wird?
Jede Ungleichung wird in die Form y OP mx + b gebracht; senkrechte Grenzen werden als x OP c behandelt. Für y < mx + b wird unterhalb, für y > mx + b oberhalb markiert. Strenge Ungleichungen erhalten eine gestrichelte, nicht strenge eine durchgezogene Randgerade. Die gemeinsame Schnittfläche erscheint dunkler.
Was unterscheidet diesen Graphen von einem Rechner für eine einzelne Ungleichung?
Ein gewöhnlicher Ungleichungsrechner liefert die Lösungsmenge einer Ungleichung als Intervall auf dem Zahlenstrahl. Dieses Werkzeug verarbeitet Systeme mit x und y, zeichnet jede Bedingung als Halbebene und bestimmt deren Schnittmenge im zweidimensionalen Raum. Es ist für lineare Optimierung und Zulässigkeitsanalysen gedacht.
In welchen Formen kann ich Ungleichungen eingeben?
Unterstützt werden die Steigungsform y > 2x + 1, die allgemeine Form 3x + 2y <= 12 und einfache Grenzen wie x >= 0 oder y >= 0. Verwende <= für ≤ und >= für ≥. Koeffizienten dürfen ganzzahlig oder dezimal sein.
Kann der zulässige Bereich unbeschränkt sein?
Ja. Bilden die Nebenbedingungen kein geschlossenes Polygon, etwa bei x ≥ 0 und y ≥ 0 ohne Obergrenzen, erstreckt sich der Bereich in mindestens eine Richtung unendlich. Der Graph zeigt den sichtbaren Ausschnitt. Trotzdem kann ein endliches Optimum existieren, wenn die Zielfunktion in Optimierungsrichtung beschränkt ist.