Dreieck Höhenschnittpunkt Rechner
Berechnen Sie den Höhenschnittpunkt (H) eines jeden Dreiecks aus den drei Eckkoordinaten. Zeigt die Höhengleichungen, die Fußpunkte jeder Höhe und den vollständigen algebraischen Rechenweg.
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| Höhe | Von | Senkrecht auf | Gleichung | Fußpunkt (auf Seite) |
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Der Höhenschnittpunkt (H) ist der Punkt, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden. Eine Höhe ist eine Strecke von einem Eckpunkt senkrecht zur gegenüberliegenden Seite (oder deren Verlängerung). Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt H im Inneren, bei rechtwinkligen Dreiecken auf dem rechtwinkligen Eckpunkt und bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb.
Bestimmen Sie die Gleichungen zweier Höhen und lösen Sie das System. Höhe von A auf BC: Steigung von BC = (y_C − y_B)/(x_C − x_B); Steigung der Höhe = −1/Steigung_BC; Höhengleichung: y − y_A = (Steigung der Höhe)(x − x_A). Wiederholen Sie das für die Höhe von B. Lösen Sie die beiden Geradengleichungen gleichzeitig, um H zu finden.
Spitzwinkliges Dreieck: H liegt im Inneren. Rechtwinkliges Dreieck: H fällt mit dem Eckpunkt des rechten Winkels zusammen. Stumpfwinkliges Dreieck: H liegt außerhalb jenseits des stumpfen Winkels. Gleichseitiges Dreieck: H, Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt fallen alle im selben Punkt zusammen.
Die Eulersche Gerade verläuft durch den Höhenschnittpunkt (H), den Schwerpunkt (G) und den Umkreismittelpunkt (O). Eine bemerkenswerte Eigenschaft: G teilt die Strecke HO immer im Verhältnis 2:1 (von H aus). Das bedeutet, für jedes nicht gleichseitige Dreieck gilt OG:GH = 1:2.
Berechnung des Höhenschnittpunkts
Der Höhenschnittpunkt wird berechnet, indem ein System aus zwei Höhengleichungen gelöst wird. Jede Höhe steht senkrecht auf einer Seite und verläuft durch den gegenüberliegenden Eckpunkt. Wenn die Seite BC die Steigung m hat, hat die Höhe von A die Steigung −1/m und verläuft durch A(x_A, y_A): y − y_A = (−1/m)(x − x_A).
Sonderfall: Ist eine Seite vertikal, ist ihre Höhe horizontal (Steigung 0). Ist eine Seite horizontal, ist ihre Höhe vertikal (unendliche Steigung, geschrieben als x = konstant).
Zusammenfassung der Dreiecks-Zentren
- Schwerpunkt G: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)
- Höhenschnittpunkt H: Schnittpunkt der Höhen (dieser Rechner)
- Umkreismittelpunkt O: Gleich weit von allen 3 Eckpunkten entfernt
- Inkreismittelpunkt I: Gleich weit von allen 3 Seiten entfernt
- Eulersche Gerade: O, G, H liegen auf einer Geraden, wobei OG:GH = 1:2 ist