Dreieck Schwerpunkt Rechner
Finden Sie den Schwerpunkt (G) eines jeden Dreiecks anhand seiner drei Eckkoordinaten. Zeigt auch Längen der Seitenhalbierenden, Mittelpunkte, Seitenlängen und Flächeninhalt.
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Eckpunkte eingeben
| Seitenhalb. | Vom Eckpunkt | Mittelpunkt | Länge | 2:1 Teilung |
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Der Schwerpunkt (G) ist der Punkt, an dem sich die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden. Eine Seitenhalbierende verbindet einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Der Schwerpunkt ist der Massenmittelpunkt des Dreiecks — würde man ein Dreieck aus einem gleichmäßigen Material ausschneiden, würde es auf dem Schwerpunkt balancieren. Formel: G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3).
Der Schwerpunkt G ist einfach der Durchschnitt der drei Eckpunkte: Gx = (x₁ + x₂ + x₃) / 3 und Gy = (y₁ + y₂ + y₃) / 3. Zum Beispiel für ein Dreieck mit den Eckpunkten (0,0), (6,0), (3,6): Gx = (0+6+3)/3 = 3, Gy = (0+0+6)/3 = 2. Also G = (3, 2).
Eine Seitenhalbierende verbindet einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Jedes Dreieck hat genau 3 Seitenhalbierende, und alle treffen sich im Schwerpunkt. Länge der Seitenhalbierenden vom Eckpunkt A zum Mittelpunkt M_a von BC: m_a = ½√(2b² + 2c² − a²), wobei a, b, c die Seitenlängen sind. Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1 (vom Eckpunkt zum Mittelpunkt).
Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1, gemessen vom Eckpunkt aus. Der Abstand von einem Eckpunkt zum Schwerpunkt beträgt also 2/3 der gesamten Länge der Seitenhalbierenden, und der Abstand vom Schwerpunkt zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite beträgt 1/3 der Länge der Seitenhalbierenden. Dies gilt für alle drei Seitenhalbierenden.
Schwerpunkt vs. Andere Dreiecks-Zentren
Ein Dreieck hat vier klassische Zentren: Schwerpunkt (G) — Schnittpunkt der Seitenhalbierenden (Massenmittelpunkt); Umkreismittelpunkt (O) — gleich weit von allen drei Eckpunkten entfernt; Inkreismittelpunkt (I) — gleich weit von allen drei Seiten entfernt; Höhenschnittpunkt (H) — Schnittpunkt der Höhen. Diese vier Punkte (außer I) liegen auf der Eulerschen Gerade (außer bei gleichseitigen Dreiecken, wo alle Punkte zusammenfallen).
- Der Schwerpunkt liegt immer innerhalb des Dreiecks
- Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1 (die Eckpunktseite ist länger)
- Die drei Seitenhalbierenden teilen das Dreieck in 6 kleinere Dreiecke mit gleicher Fläche
- Schwerpunktkoordinaten = arithmetisches Mittel der Eckkoordinaten