3D-Abstandsrechner
Berechnen Sie den geradlinigen euklidischen Abstand zwischen zwei Punkten im 3D-Raum (x, y, z). Unterstützt auch 2D. Zeigt den schrittweisen Lösungsweg, Mittelpunkt und Richtungsvektor.
Punkt-Koordinaten
Ergebnisse
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²]. Dies ist die Erweiterung des Satzes des Pythagoras auf drei Dimensionen. Für P₁(1,2,3) und P₂(4,6,8): d = √[9+16+25] = √50 ≈ 7,071.
Der euklidische Abstand ist der geradlinige Abstand ("Luftlinie") zwischen zwei Punkten. In nD: d = √[∑(xᵢ₂ − xᵢ₁)²]. Es ist das am häufigsten verwendete Abstandsmaß in Physik, Geometrie und maschinellem Lernen.
Mittelpunkt M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2). Er ist der arithmetische Mittelwert der Koordinaten — genau auf halbem Weg zwischen A und B auf der geraden Verbindungslinie.
Physik (molekulare Abstände), 3D-Grafik und Spiele (Kollisionserkennung, Wegfindung), Robotik (Reichweite), GPS-Navigation, Machine Learning (kNN-Abstandsmaß), CAD-Konstruktion. Jedes Feld, das mit räumlichen Koordinaten arbeitet, nutzt diesen Abstand.
Herleitung der 3D-Abstandsformel
In 2D liefert der Satz des Pythagoras die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks: c = √(a² + b²). In 3D findet man die Raumdiagonale eines Quaders mit den Kanten Δx, Δy, Δz durch zweimalige Anwendung des Pythagoras:
- Diagonale (in der xy-Ebene): h = √(Δx² + Δy²)
- Gesamte 3D-Raumdiagonale: d = √(h² + Δz²) = √(Δx² + Δy² + Δz²)
Dies lässt sich natürlich auf n Dimensionen erweitern: d = √(Δx₁² + Δx₂² + ... + Δxₙ²).