What is a dot product?

The dot product (scalar product) of two vectors A and B is: A·B = ax×bx + ay×by + az×bz. The result is a single number (scalar). Geometrically, A·B = |A||B|cos(θ), where θ is the angle between the vectors. If A·B = 0, the vectors are perpendicular. If A·B > 0, the angle is acute; if A·B < 0, the angle is obtuse.

What is a cross product?

The cross product of 3D vectors A×B produces a new vector perpendicular to both A and B. Formula: A×B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx). The magnitude |A×B| = |A||B|sin(θ) gives the area of the parallelogram formed by the two vectors. Kreuzprodukts only exist in 3D (and 7D).

How do you find the magnitude of a vector?

The magnitude (length) of a vector A = (ax, ay, az) is |A| = √(ax² + ay² + az²). In 2D: |A| = √(ax² + ay²). Betrag is always a non-negative scalar.

What is a unit vector?

A unit vector has a magnitude of exactly 1 and points in the same direction as the original vector. To find the unit vector: Â = A / |A| = (ax/|A|, ay/|A|, az/|A|). Einheitsvektors are used to represent direction without magnitude, and are commonly denoted with a hat (î, ĵ, k̂ for the standard basis vectors).

Vektor Rechner

Führen Sie alle gängigen Vektoroperationen in 2D und 3D aus: Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag, Einheitsvektor und Winkel zwischen Vektoren — mit vollständigem Schritt-für-Schritt-Lösungsweg.

Dimensionen

Vektoren eingeben

Beispiele:

Vektor A

x

y

z

Vektor B

x

y

z

Ergebnisse

|A|

—

|B|

—

A·B

—

Winkel

—

A + B—

A − B—

B − A—

Skalarprodukt A·B—

Kreuzprodukt A×B—

|A| (Betrag von A)—

|B| (Betrag von B)—

Â (Einheitsvektor von A)—

B̂ (Einheitsvektor von B)—

Winkel θ between A and B—

Sind A und B senkrecht zueinander?—

Sind A und B parallel?—

Schritt-für-Schritt Lösungsweg

Vektor Formel-Referenz

Operation	Formel (3D)	Ergebnistyp
Addition	A+B = (ax+bx, ay+by, az+bz)	Vektor
Subtraktion	A−B = (ax−bx, ay−by, az−bz)	Vektor
Betrag	\|A\| = √(ax²+ay²+az²)	Skalar
Einheitsvektor	Â = A/\|A\|	Vektor
Skalarprodukt	A·B = ax·bx + ay·by + az·bz	Skalar
Kreuzprodukt	A×B = (ay·bz−az·by, az·bx−ax·bz, ax·by−ay·bx)	Vektor (nur 3D)
Winkel between	θ = arccos(A·B / (\|A\|\|B\|))	Winkel (degrees)
Senkrecht-Test	A·B = 0	Wahrheitswert
Parallel-Test	\|A×B\| = 0 (or A = k·B)	Wahrheitswert

Häufig gestellte Fragen

Das Skalarprodukt (A·B) ergibt einen Skalar — eine einzelne Zahl. Es entspricht |A||B|cos(θ) und misst, wie stark ein Vektor in die Richtung eines anderen zeigt. Das Kreuzprodukt (A×B) erzeugt einen neuen Vektor, der senkrecht auf A und B steht. Sein Betrag entspricht |A||B|sin(θ), was der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht. Kreuzprodukte existieren nur in 3D. It equals |A||B|cos(θ) and measures how much one vector projects onto another. The cross product (A×B) produces a new vector perpendicular to both A and B. Its magnitude equals |A||B|sin(θ), equal to the area of the parallelogram formed by the vectors. Kreuzprodukts only exist in 3D.

Zwei Vektoren sind senkrecht (orthogonal), wenn ihr Skalarprodukt null ist: A·B = 0. Das liegt daran, dass A·B = |A||B|cos(θ) ist, und cos(90°) = 0. A·B = 0. This is because A·B = |A||B|cos(θ), and cos(90°) = 0. Example: A = (3, 4) and B = (−4, 3) → A·B = 3×(−4) + 4×3 = −12 + 12 = 0 ✓.

Verwenden Sie die Formel für das Skalarprodukt: θ = arccos(A·B / (|A| × |B|)). Dies ergibt immer den Winkel zwischen 0° und 180°. θ = arccos(A·B / (|A| × |B|)). This always gives the angle between 0° and 180°. Steps: 1) Calculate A·B. 2) Calculate |A| and |B|. 3) Divide: (A·B) / (|A||B|). 4) Take the inverse cosine.

Ein Einheitsvektor hat den Betrag 1 und repräsentiert eine reine Richtung ohne Skalierung. Um ihn zu finden, teilt man jede Komponente durch den ursprünglichen Betrag. To find it: divide every component by the original magnitude. Einheitsvektors are used in physics to represent directions (force direction, velocity direction), in graphics for surface normals, and in maths to separate the "direction" from the "magnitude" of a vector.