Gaußsche Trapezformel (Shoelace) Rechner
Berechnen Sie die Fläche, den Umfang und den Schwerpunkt jedes beliebigen Polygons anhand der Eckkoordinaten (x, y). Mit Rechenweg und bis zu 20 Eckpunkten.
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Die Gaußsche Trapezformel berechnet die Fläche eines einfachen Polygons anhand der geordneten Eckpunkte: Fläche = ½ × |Σ(xᵢ × yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ × yᵢ)|. Der englische Name 'Shoelace' stammt von dem Muster der Kreuzmultiplikation, das einem Schnürsenkel ähnelt. Sie funktioniert für jedes nicht-selbstüberschneidende Polygon.
Die Eckpunkte müssen in einer konsistenten Reihenfolge — entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn — eingegeben werden. Das Mischen der Reihenfolge führt zu falschen Ergebnissen. Die Formel liefert eine positive Fläche bei Eingabe gegen den Uhrzeigersinn und eine negative Fläche im Uhrzeigersinn.
Ja. Die Gaußsche Trapezformel berechnet die Fläche jedes einfachen (nicht selbstüberschneidenden) Polygons korrekt, auch von konkaven. Sie funktioniert jedoch NICHT für Polygone mit Löchern oder selbstüberschneidende Polygone (wie eine Figur-8).
Für ein Dreieck mit den Eckpunkten (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃): Fläche = ½ × |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|. Dies ist ein Spezialfall der Gaußschen Trapezformel für 3 Eckpunkte.
Erklärung der Gaußschen Trapezformel
Gegeben sind n Eckpunkte (x₁,y₁), (x₂,y₂), ..., (xₙ,yₙ) in Reihenfolge:
Fläche = ½ × |Σᵢ(xᵢ × yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ × yᵢ)| wobei xₙ₊₁ = x₁ und yₙ₊₁ = y₁ (es wird also umbrochen).
Der englische Name "Shoelace" stammt vom Schreiben der Koordinaten in zwei Spalten und der diagonalen Kreuzmultiplikation — das Muster ähnelt dem Schnüren eines Schuhs.
Schwerpunkt eines Polygons
Der Schwerpunkt (geometrische Mitte) eines Polygons ist: Cₓ = (1/6A) × Σ(xᵢ + xᵢ₊₁)(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ) und analog für Cy. Dies ist der Punkt, an dem eine flache, gleichmäßige Platte in der Form des Polygons balancieren würde.
- Funktioniert für jedes einfache (nicht selbstüberschneidende) Polygon
- Die Eckpunkte müssen konsequent im oder gegen den Uhrzeigersinn angeordnet sein
- Funktioniert auch mit Fließkommazahlen-Koordinaten
- Benannt nach Carl Friedrich Gauss; auch Vermesser-Formel genannt