Wahrscheinlichkeitsverteilung-Rechner
Normalverteilung · Exponentialverteilung · Gleichverteilung · Studentsches t · Chi-Quadrat
Berechnen Sie PDF, CDF und Quantile für fünf stetige Verteilungen. Die interaktive Dichtekurve markiert den gewählten Wahrscheinlichkeitsbereich.
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Dargestellt wird die Wahrscheinlichkeitsdichte der aktuellen Verteilung mit den gewählten Parametern. Führen Sie eine Berechnung aus, um den markierten Bereich zu sehen.
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CDF-Wertetabelle
CDF-Werte F(x) = P(X ≤ x) für die aktuell ausgewählte Verteilung und ihre Parameter.
| x | PDF f(x) | CDF F(x) | P(X > x) |
|---|---|---|---|
| Wählen Sie eine Verteilung und führen Sie eine Berechnung aus. | |||
Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt mathematisch, wie wahrscheinlich die möglichen Ergebnisse einer Zufallsvariablen sind. Kann eine Zufallsvariable stetig jeden Wert innerhalb eines Bereichs annehmen, wird sie durch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) beschrieben. Anders als diskrete Verteilungen wie Binomial- oder Poisson-Verteilung weisen stetige Verteilungen nicht einzelnen Ergebnissen, sondern Intervallen Wahrscheinlichkeiten zu. Diese entsprechen der Fläche unter der PDF-Kurve.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen bilden eine Grundlage der Statistik, Datenwissenschaft, des maschinellen Lernens, der Ingenieurwissenschaften, Finanzmathematik und Naturwissenschaften. Hinter jedem Konfidenzintervall, p-Wert und Hypothesentest steht eine passende Verteilung.
Diskrete und stetige Verteilungen im Vergleich
Eine diskrete Verteilung wie die Binomial-, Poisson- oder geometrische Verteilung besitzt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF), die bestimmten ganzzahligen Werten eine positive Wahrscheinlichkeit zuweist. Die Zahl der Köpfe bei zehn Münzwürfen kann beispielsweise nur 0, 1, 2, ..., 10 betragen.
Eine stetige Verteilung kann jeden Wert in einem Intervall oder auf der gesamten reellen Zahlengeraden annehmen. Dass eine stetige Zufallsvariable genau einen einzelnen Wert annimmt, hat Wahrscheinlichkeit null; entscheidend ist die Wahrscheinlichkeit über einen Bereich. Dieser Rechner unterstützt fünf häufig verwendete stetige Verteilungen.
PDF, CDF und Quantilfunktion im Vergleich
| Begriff | Notation | Definition |
|---|---|---|
| f(x) | Dichte an der Stelle x; Fläche unter der Kurve = 1 | |
| CDF | F(x) = P(X ≤ x) | Kumulierte Wahrscheinlichkeit bis x |
| Überleben | S(x) = 1 − F(x) | Wahrscheinlichkeit, x zu überschreiten |
| Quantil | Q(p) = F−¹(p) | x, sodass P(X ≤ x) = p gilt |
Die fünf unterstützten stetigen Verteilungen
Normalverteilung N(μ, σ²)
Die Normal- oder Gauß-Verteilung ist eine der wichtigsten Verteilungen der Statistik. Ihre symmetrische Glockenkurve wird durch den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ bestimmt. Nach dem zentralen Grenzwertsatz nähern sich Summen vieler unabhängiger Zufallsvariablen einer Normalverteilung. Daher eignet sie sich unter anderem für Messfehler, Körpergrößen, Gewichte, Testergebnisse und Finanzrenditen.
Exponentialverteilung Exp(λ)
Die Exponentialverteilung modelliert die Wartezeit zwischen Ereignissen eines Poisson-Prozesses. Beim Rateparameter λ beträgt die mittlere Wartezeit 1/λ. Kennzeichnend ist ihre Gedächtnislosigkeit: Nach einer bereits verstrichenen Wartezeit t ist die zusätzliche Wartezeit genauso verteilt wie zu Beginn. Die Verteilung wird besonders in der Zuverlässigkeitstechnik, Warteschlangentheorie und Überlebenszeitanalyse eingesetzt.
Stetige Gleichverteilung U(a, b)
Die Gleichverteilung weist allen Werten zwischen a und b dieselbe Wahrscheinlichkeitsdichte zu. Sie ist die einfachste stetige Verteilung und besitzt eine konstante PDF sowie eine lineare CDF. Verwendet wird sie zur Zufallszahlenerzeugung, zur Modellierung gleich wahrscheinlicher Werte, etwa eines zufälligen Punktes auf einer Strecke, und als A-priori-Verteilung in der bayesschen Statistik.
Studentsche t-Verteilung t(ν)
Die 1908 von William Gosset unter dem Pseudonym „Student“ eingeführte t-Verteilung ist wie die Normalverteilung glockenförmig, besitzt jedoch stärkere Randbereiche, die von den Freiheitsgraden ν abhängen. Sie wird zur Schätzung von Populationsmittelwerten aus kleinen Stichproben verwendet. Für ν → ∞ nähert sich t(ν) der Standardnormalverteilung N(0,1). Sie ist zentral für t-Tests, Konfidenzintervalle und Regressionsschlüsse.
Chi-Quadrat-Verteilung χ²(ν)
Die Chi-Quadrat-Verteilung mit ν Freiheitsgraden ist die Summe der Quadrate von ν unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen. Sie ist rechtsschief und nichtnegativ. Zu den wichtigsten Anwendungen gehören Anpassungstests, Unabhängigkeitstests in Kontingenztafeln und Konfidenzintervalle für die Populationsvarianz. Mit wachsendem ν nähert sie sich aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes einer Normalverteilung.
Zusammenhang mit p-Werten und Hypothesentests
Ein p-Wert ist die Randwahrscheinlichkeit einer Teststatistik unter der Nullhypothese. Beim Z-Test wird P(|Z| ≥ zbeob) mit der Normalverteilung berechnet. Beim t-Test mit ν Freiheitsgraden ist es P(|t| ≥ tbeob) aus der t-Verteilung. Beim Chi-Quadrat-Test mit ν Freiheitsgraden gilt P(χ² ≥ χ²beob) aus der Chi-Quadrat-Verteilung. Der Rechner ermittelt diese Wahrscheinlichkeiten direkt.
Übersicht der Verteilungen
| Verteilung | Parameter | Erwartungswert | Varianz | Typische Anwendung |
|---|---|---|---|---|
| Normalverteilung | μ, σ | μ | σ² | Natürliche Messgrößen, zentraler Grenzwertsatz |
| Exponentialverteilung | λ | 1/λ | 1/λ² | Wartezeiten, Zuverlässigkeit |
| Gleichverteilung | a, b | (a+b)/2 | (b−a)²/12 | Gleich wahrscheinliche Werte |
| Studentsches t | ν | 0 (ν>1) | ν/(ν−2) (ν>2) | Inferenz bei kleinen Stichproben |
| Chi-Quadrat | ν | ν | 2ν | Hypothesentests, Varianz |