Was besagt der Zentrale Grenzwertsatz?

Der Zentrale Grenzwertsatz (ZGS) besagt, dass sich die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts X̄ mit zunehmendem Stichprobenumfang n einer Normalverteilung annähert, unabhängig von der Verteilungsform der Grundgesamtheit. Dies gilt im Allgemeinen ab n ≥ 30. Der Mittelwert der Stichprobenverteilung entspricht dem Erwartungswert μ der Grundgesamtheit, und die Standardabweichung beträgt σ/√n, was als Standardfehler bezeichnet wird.

Welche Stichprobengröße ist für den Zentralen Grenzwertsatz nötig?

Als Faustregel gilt n ≥ 30 für eine gute Annäherung. Ist die Grundgesamtheit bereits normalverteilt, gilt der ZGS für jede beliebige Stichprobengröße. Bei stark schiefen oder unregelmäßigen Verteilungen können größere Stichproben (n ≥ 50 oder mehr) für eine präzise Annäherung erforderlich sein.

Was ist der Standardfehler?

Der Standardfehler (SE) ist die Standardabweichung der Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts. Er wird berechnet als SE = σ / √n, wobei σ die Standardabweichung der Grundgesamtheit und n der Stichprobenumfang ist. Je größer die Stichprobe, desto kleiner der Standardfehler.

📊

Zentraler Grenzwertsatz Rechner

Stichprobenverteilung • Standardfehler • Z-Score • Wahrscheinlichkeiten

Berechnungsmodus

Schnelle Beispiele

Mittelwert (μ)

Std.-Abw. (σ)

Stichprobe (n)

X-Wert (x)

Stichprobengröße-Sensitivität (Standardfehler)

Berechnet auf Basis des aktuellen Werts von σ im Reiter Standard (oder Standardwert σ = 12). Formel: SE = σ / √n.

Stichprobengröße (n)	Standardfehler (SE)	Verhältnis zu n=1	Interpretation

Z-Score-Referenztabelle

Standardnormalverteilung Φ(Z) für Z-Werte von −3,0 bis +3,0.

Z	Φ(Z) = P(X ≤ Z)	1 − Φ(Z)	2·Φ(Z)−1 (zweiseitig)

Was ist der Zentrale Grenzwertsatz?

Der Zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist eines der fundamentalsten Resultate in der gesamten mathematischen Statistik. Er besagt, dass sich die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts X̄ mit zunehmendem Stichprobenumfang n einer Normalverteilung annähert, unabhängig davon, welche Verteilung die Grundgesamtheit aufweist. Dieses bemerkenswerte Gesetz gilt immer, solange die gezogenen Beobachtungen unabhängig voneinander sind und aus derselben Verteilung mit endlichem Erwartungswert und endlicher Varianz stammen.

In der Praxis gilt ein Stichprobenumfang von n ≥ 30 für die meisten Verteilungen als ausreichend groß für eine gute Annäherung. Ist die Grundgesamtheit selbst bereits normalverteilt, so gilt der Zentrale Grenzwertsatz für jede Stichprobengröße, egal wie klein. Der ZGS bildet das mathematische Fundament für unzählige statistische Verfahren, wie Hypothesentests (z. B. Z-Test), Konfidenzintervalle und vieles mehr.

Die ZGS-Formeln

Beim Ziehen von Stichproben aus einer Grundgesamtheit mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ gilt für die Stichprobenverteilung des Mittelwerts X̄:

Stichprobenverteilung: X̄ ~ N(μ, σ/√n) für ein hinreichend großes n
Standardfehler (Standard Error): SE = σ / √n — die Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte
Z-Statistik: Z = (X̄ − μ) / SE — transformiert das Stichprobenmittel in eine Standardnormalverteilung
Linksseitige Wahrscheinlichkeit: P(X̄ ≤ x) = Φ(Z)
Rechtsseitige Wahrscheinlichkeit: P(X̄ ≥ x) = 1 − Φ(Z)
Intervallwahrscheinlichkeit: P(x₁ ≤ X̄ ≤ x₂) = Φ(Z₂) − Φ(Z₁)

Hierbei bezeichnet Φ die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) der Standardnormalverteilung.

ZGS in der Praxis — Rechenbeispiele

Beispiel 1: Prüfungsergebnisse

Die Noten einer Statistikprüfung in einer Grundgesamtheit haben den Mittelwert μ = 70 und eine Standardabweichung von σ = 12. Ein Dozent wählt zufällig eine Stichprobe von 36 Studierenden aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Stichprobenmittel höchstens 73 beträgt?

Schritt 1: SE = 12 / √36 = 12 / 6 = 2,0
Schritt 2: Z = (73 − 70) / 2,0 = 1,50
Schritt 3: P(X̄ ≤ 73) = Φ(1,50) ≈ 0,9332 = 93,32%

Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von ca. 93,32%, dass das Mittel der Stichprobe bei 73 oder darunter liegt.

Beispiel 2: Qualitätskontrolle

Eine Maschine produziert Schrauben mit einer Soll-Länge von μ = 500 mm und σ = 20 mm. Ein Prüfer entnimmt eine Stichprobe von n = 16 Schrauben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die durchschnittliche Länge 505 mm übersteigt?

Schritt 1: SE = 20 / √16 = 20 / 4 = 5,0
Schritt 2: Z = (505 − 500) / 5,0 = 1,00
Schritt 3: P(X̄ ≥ 505) = 1 − Φ(1,00) ≈ 1 − 0,8413 = 0,1587 = 15,87%

Standardfehlertabelle

Diese Tabelle zeigt, wie der Standardfehler mit steigendem Stichprobenumfang sinkt (am Beispiel σ = 15):

Stichprobengröße (n)	Standardfehler (SE = 15/√n)	Verringerung im Vergleich zu n=1
1	15,000	—
5	6,708	55,3% kleiner
10	4,743	68.4% kleiner
25	3,000	80.0% kleiner
30	2,739	81.7% kleiner
50	2,121	85.9% kleiner
100	1,500	90.0% kleiner
200	1,061	92.9% kleiner
500	0,671	95.5% kleiner