P(λ)

Poisson-Verteilung-Rechner

PMF · CDF · Gegenwahrscheinlichkeit · Intervall · Säulendiagramm

Berechnen Sie P(X=k) = e^−λλ^k/k!, die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X≤k), P(X>k) und P(a≤X≤b) für eine beliebige Rate λ. Inklusive vollständiger Wahrscheinlichkeitstabelle und Diagramm.

Schnellbeispiele

λ (Lambda)

Rate > 0

k (Anzahl)

Ganzzahl ≥ 0

Wahrscheinlichkeitsverteilungstabelle

Zeigt k, P(X=k), P(X≤k) und P(X>k) von k=0 bis k_max (Abbruch bei CDF ≥ 0,9999). Die gewählte k-Zeile ist hervorgehoben.

Führen Sie zuerst eine Berechnung aus und wechseln Sie anschließend zu diesem Tab.

k	P(X = k)	P(X ≤ k)	P(X > k)

Poisson-Approximation der Binomialverteilung

Für n ≥ 20 und p ≤ 0,05 (oder np ≤ 10) gilt Binomial(n, p) ≈ Poisson(λ = np). Geben Sie n und p ein, um P(X=k) beider Verteilungen zu vergleichen.

n (Versuche)

p (Wahrscheinlichkeit)

k (Anzeigen bis)

k	Binomial P(X=k)	Poisson P(X=k)	Fehler in %

Was ist die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung ist eine grundlegende diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie modelliert, wie oft ein zufälliges Ereignis innerhalb eines festen Zeit-, Raum- oder sonstigen kontinuierlichen Intervalls auftritt — vorausgesetzt, die Ereignisse sind unabhängig und treten mit einer konstanten mittleren Rate λ (Lambda) ein. Der französische Mathematiker Siméon Denis Poisson leitete sie 1837 als Grenzfall der Binomialverteilung für großes n und kleines p her.

Während die Binomialverteilung Erfolge in einer festen Zahl von Versuchen zählt, beschreibt die Poisson-Verteilung Zähldaten ohne theoretische Obergrenze. In einem Intervall können 0, 1, 2, … beliebig viele Ereignisse auftreten. Typische Beispiele sind Kunden an einer Kasse pro Stunde, E-Mails pro Tag oder Materialfehler pro Meter Stoff.

Wahrscheinlichkeitsfunktion und Berechnung im logarithmischen Raum

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF) lautet:

P(X = k) = e^−λ × λ^k / k! für k = 0, 1, 2, …

Bei großen Werten von λ oder k führt die direkte Berechnung von λ^k und k! zu einem arithmetischen Überlauf. Abhilfe schafft die Berechnung im logarithmischen Raum:

log P(X = k) = −λ + k × ln(λ) − ln(k!) P(X = k) = exp(−λ + k × ln(λ) − ln(k!))

Dabei wird ln(k!) effizient als laufende Summe berechnet: ln(k!) = Σ_i=1^k ln(i). Dieses Verfahren bleibt für λ bis 200 und k bis 150 numerisch stabil.

Eigenschaften der Poisson-Verteilung

Eigenschaft	Wert	Hinweis
Mittelwert (μ)	λ	Erwartete Anzahl der Ereignisse
Varianz (σ²)	λ	Entspricht dem Mittelwert
Standardabweichung (σ)	√λ	Streuung der Verteilung
Schiefe	1/√λ	Rechtsschief; für großes λ annähernd symmetrisch
Exzess	1/λ	Nähert sich für λ → ∞ der Normalverteilung
Modalwert	⌊λ⌋ und bei ganzzahligem λ zusätzlich ⌊λ⌋−1	Wahrscheinlichste Anzahl

Die Gleichheit von Mittelwert und Varianz (μ = σ² = λ) ist ein kennzeichnendes Merkmal. Ist die Varianz Ihrer Zähldaten deutlich größer als der Mittelwert (Überdispersion), kann die negative Binomialverteilung besser geeignet sein.

Additive Eigenschaft und Superposition

Sind X ~ Poisson(λ₁) und Y ~ Poisson(λ₂) unabhängig, dann gilt X + Y ~ Poisson(λ₁ + λ₂). Durch diese additive Eigenschaft lassen sich Poisson-Prozesse einfach zusammenfassen: Die gesamte Ankunftsrate zweier unabhängiger Prozesse ist die Summe ihrer Raten.

Verbindung zur Exponentialverteilung

Folgen Ereignisse einem Poisson-Prozess mit der Rate λ pro Zeiteinheit, ist die Zeit zwischen zwei Ankünften exponentialverteilt mit Rate λ und Mittelwert 1/λ. Diese Dualität ist ein Grundpfeiler der Warteschlangentheorie und des M/M/1-Modells:

Ankünfte: Kundenzahl pro Stunde ~ Poisson(λ)
Wartezeit: Zeit bis zum nächsten Kunden ~ Exponential(λ)
Bedienzeit: Bei Bedienrate μ gilt Zeit pro Bedienung ~ Exponential(μ)

Poisson-Approximation der Binomialverteilung

Bei großem n (≥ 20) und kleinem p (≤ 0,05) kann die direkte Berechnung binomialer Wahrscheinlichkeiten aufwendig werden. Da der Mittelwert λ = np ist, lässt sich Binomial(n, p) durch Poisson(λ = np) annähern. Der Näherungsfehler ist durch min(p, λ/n) beschränkt und sinkt für n → ∞ bei festem λ.

Praxisanwendungen

Warteschlangentheorie und Callcenter: Kundenankünfte pro Zeitintervall und Analyse von M/M/1-Warteschlangen.
Telekommunikation: Paketankünfte in Netzwerkpuffern und unterbrochene Anrufe pro Minute.
Epidemiologie: Fälle seltener Krankheiten pro Bezirk und Jahr.
Radioaktiver Zerfall: Impulse eines Geigerzählers pro Sekunde.
Versicherungen: Schadensfälle pro Versicherungsnehmer und Jahr.
Website-Traffic: Seitenaufrufe pro Sekunde, insbesondere in Nebenzeiten.
Fertigungsqualität: Fehler pro Flächeneinheit in einer Produktionslinie.
Ökologie: Sichtungen seltener Arten pro Hektar.
Astronomie: Pro Sekunde eintreffende Photonen eines Teleskopdetektors.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl unabhängiger Ereignisse in einem festen Intervall bei konstanter mittlerer Rate λ. Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet P(X=k) = e^−λλ^k/k! für k = 0, 1, 2, … Benannt ist sie nach Siméon Denis Poisson; sie entsteht als Grenzfall der Binomialverteilung.

Was bedeutet Lambda (λ)?

Lambda (λ) ist der Ratenparameter, also die erwartete Anzahl von Ereignissen pro Intervall. Erhält ein Callcenter durchschnittlich 5 Anrufe pro Stunde, gilt λ = 5. Lambda muss eine positive reelle Zahl sein und entspricht zugleich Mittelwert und Varianz. Aus Daten lässt sich λ daher direkt über den Stichprobenmittelwert schätzen.

Wann verwendet man die Poisson- statt der Binomialverteilung?

Verwenden Sie die Binomialverteilung bei einer festen Anzahl n unabhängiger Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Die Poisson-Verteilung eignet sich, wenn Ereignisse in einem kontinuierlichen Intervall ohne feste Obergrenze auftreten können. Als Faustregel ist sie bei n ≥ 20 und p ≤ 0,05 beziehungsweise np ≤ 10 eine gute Binomialnäherung.

Was ist die Poisson-Approximation der Binomialverteilung?

Für großes n (≥ 20) und kleines p (≤ 0,05) gilt Binomial(n, p) ≈ Poisson(λ = np). Historisch vereinfachte dies Rechnungen mit großen Binomialkoeffizienten. Auch heute ist die Näherung bei sehr kleinem p nützlich. Im Tab „Näherung“ können Sie beide Verteilungen numerisch vergleichen.

Warum sind Mittelwert und Varianz beide gleich λ?

Das folgt direkt aus der momenterzeugenden Funktion M(t) = exp(λ(e^t − 1)). Ihre erste Ableitung bei t = 0 ergibt E[X] = λ; auch das zweite Kumulant, die Varianz, ist λ. Sind Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz annähernd gleich, spricht das für ein Poisson-Modell. Bei Varianz ≫ Mittelwert kommt eher ein negatives Binomialmodell infrage.

Wie hängen Poisson- und Exponentialverteilung zusammen?

Treten Ereignisse nach einem Poisson-Prozess mit Rate λ auf, ist die Wartezeit zwischen zwei Ereignissen exponentialverteilt mit Mittelwert 1/λ. Empfängt ein Server beispielsweise λ = 10 Anfragen pro Sekunde, beträgt der mittlere Abstand 0,1 Sekunden. Dieser Zusammenhang liegt der M/M/1-Warteschlangentheorie zugrunde; „M“ bezeichnet die Gedächtnislosigkeit der Zwischenankunfts- und Bedienzeiten.

Welche praktischen Anwendungen hat die Poisson-Verteilung?

Typische Anwendungen sind Warteschlangentheorie und Callcenter-Planung (Kunden pro Stunde), Netzwerktechnik (Pakete pro Millisekunde), Epidemiologie (Fälle pro 100.000 Einwohner), Kernphysik (Zerfälle pro Sekunde), Versicherungsmathematik (Schäden pro Vertrag), Lasttests für Websites, Qualitätskontrolle, Ökologie und Astronomie.

Poisson-Verteilung-Rechner

Wahrscheinlichkeitsfunktion & Berechnung

Verteilungseigenschaften

Wahrscheinlichkeitsverteilungstabelle

Säulendiagramm — P(X = k)

Poisson-Approximation der Binomialverteilung

Was ist die Poisson-Verteilung?

Wahrscheinlichkeitsfunktion und Berechnung im logarithmischen Raum

Eigenschaften der Poisson-Verteilung

Additive Eigenschaft und Superposition

Verbindung zur Exponentialverteilung

Poisson-Approximation der Binomialverteilung

Praxisanwendungen

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