Negative-Binomialverteilung-Rechner
PMF · CDF · Mean · Variance · Bar Diagramm · Two Parameterizations
Berechne genaue Wahrscheinlichkeiten, CDF und Statistiken für die negative Binomialverteilung (Pascal). Unterstützt die Parametrisierungen Misserfolge-vor-r-tem-Erfolg und Versuch-des-r-ten-Erfolgs.
Schnellbeispiele
Parametrisierung
Formel & Einsetzung
Full probability table from k=0 to k_max. Use the Rechner tab first, or enter parameters below.
| k | P(X=k) | P(X≤k) | P(X>k) |
|---|
Gestrichelte rote Linie = Erwartungswert. Dunkelgrüner Balken = ausgewählter k-Wert.
Was ist die negative Binomialverteilung?
Die negative Binomialverteilung ist eine grundlegende diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die Zähldaten aus einer Folge unabhängiger Bernoulli-Versuche modelliert. Im Gegensatz zur Binomialverteilung hat die negative Binomialverteilung eine feste Zielanzahl von Erfolgen r und zählt, wie viele Misserfolge auftreten, bevor dieses Ziel erreicht ist.
Angenommen, jeder Versuch führt unabhängig zu einem Erfolg mit Wahrscheinlichkeit p und zu einem Misserfolg mit Wahrscheinlichkeit 1 − p. Der Prozess wird fortgesetzt, bis genau r Erfolge beobachtet wurden. Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion ist:
wobei X die Anzahl der Misserfolge vor dem r-ten Erfolg ist. Diese Form ist besonders natürlich für die Qualitätskontrolle.
Zwei Parametrisierungen erklärt
Statistiker verwenden zwei äquivalente Möglichkeiten, die negative Binomialverteilung zu parametrisieren.
Modus A — Number of Failures (X)
X zählt die Anzahl der Misserfolge vor dem r-ten Erfolg. Der Träger ist k = 0, 1, 2, .... Der Erwartungswert ist r(1−p)/p und die Varianz ist r(1−p)/p².
Modus B — Trial Number (Y, Pascal Distribution)
Y zählt den Versuch, bei dem der r-te Erfolg eintritt. Der Träger ist n = r, r+1, r+2, .... Diese Form ist als Pascal-Verteilung bekannt.
Beziehung zur geometrischen Verteilung
When r = 1, the negative binomial reduces exactly to the geometric distribution. In Modus A with r = 1, P(X=k) = p × (1−p)^k for k = 0, 1, 2, ..., which is the geometric distribution measuring the number of failures before the first success. In Modus B with r = 1, P(Y=n) = p × (1−p)^(n−1) for n = 1, 2, 3, ..., the standard geometric distribution. You can verify this on the calculator by setting r = 1.
Erwartungswert, Varianz und Überdispersion
| Parametrisierung | Erwartungswert | Varianz | Standardabweichung |
|---|---|---|---|
| Modus A (failures X) | r(1−p)/p | r(1−p)/p² | √(r(1−p)/p²) |
| Modus B (trials Y) | r/p | r(1−p)/p² | √(r(1−p)/p²) |
Eine Schlüsseleigenschaft ist, dass Varianz = Erwartungswert + Erwartungswert²/r. Da Erwartungswert²/r > 0, übersteigt die Varianz immer den Erwartungswert. Dies wird Überdispersion genannt.
Beziehung zur Binomialverteilung
Während beide Verteilungen Bernoulli-Versuche beinhalten, sind ihre Rollen vertauscht. Bei der Binomialverteilung B(n, p) ist n fest und Erfolge X werden gezählt. Bei der negativen Binomialverteilung sind r Erfolge erforderlich und Misserfolge (oder Versuche) werden gezählt.
Anwendungen
- Insurance and actuarial science: Moduslling claim counts when policyholders are heterogeneous. If each policyholder's claim rate follows a Gamma distribution, the marginal count is negative binomial.
- Ökologie: Artenhäufigkeit und Insektenpopulationen sind typischerweise aggregiert (überdispergiert).
- Genomik / RNA-seq: Werkzeuge wie DESeq2 und edgeR verwenden die negative Binomialverteilung.
- Epidemiologie: Die Verbreitungsdaten von COVID-19 zeigten eine starke Überdispersion.
- Zuverlässigkeitstechnik: Die Zeit bis zum r-ten Ausfall eines reparierbaren Systems folgt einer negativen Binomialverteilung.
- Sportanalytik: Tore pro Spiel im Fußball zeigen überdispergierte Muster.
- Marketing und Vertrieb: Anzahl der Verkaufsanrufe vor r bestätigten Bestellungen.