Rechner für logarithmische Gleichungen
log_b(x)=c · Summe von Logarithmen · Linear im Logarithmus · Natürlicher Logarithmus ln · Gleiche Basis
Lösen Sie Gleichungen, bei denen die Variable in einem Logarithmus steht. Mit vollständigem Rechenweg, Prüfung des Definitionsbereichs und Erkennung von Scheinlösungen.
Schnellbeispiele
Gleichungstyp
Gleichungsform: log_b(x) = c → x = bc
Gleichungsform: a·log_b(x) + c = d
Hinweis: Geben Sie d als Dezimalzahl ein (für 2log(x) = log(25) beim Zehnerlogarithmus d = 1,39794). Alternativ verwenden Sie oben das passende Schnellbeispiel.
Gleichungsform: log_b(ax+p) + log_b(cx+q) = log_b(k) oder = N
Erstes Logarithmusargument: (a·x + p)
Zweites Logarithmusargument: (c·x + q)
Rechte Seite: log_b(k) = N bedeutet k = bN
Gleichungsform: ln(a·x + b) = c → x = (ec − b) / a
Gleichungsform: log_b(Ax² + Bx + C) = N → Ax² + Bx + C = bN, quadratische Gleichung lösen
Prüfung von Definitionsbereich und Scheinlösungen
Schritt-für-Schritt-Lösung
Probe
Übersicht der Logarithmengesetze
Was sind logarithmische Gleichungen?
A logarithmische Gleichung ist eine Gleichung, in der die unbekannte Variable als Argument eines Logarithmus vorkommt. Die Beispiele reichen von der Grundform log(x) = 3 bis zu komplexeren Formen wie log₂(x+3) + log₂(x−1) = 5. Zum Lösen werden die Logarithmengesetze systematisch angewendet, um den Logarithmus zu isolieren. Anschließend liefert die Umkehrbeziehung zwischen Logarithmus und Potenz den Wert von x.
Logarithmische Gleichungen treten in vielen Bereichen auf: in der Chemie bei pH-Werten, in der Seismologie bei der Richterskala, in der Akustik bei Dezibelwerten und in der Finanzmathematik bei Zinseszins und Laufzeiten.
Arten logarithmischer Gleichungen
| Typ | Form | Verfahren |
|---|---|---|
| Grundform | log_b(x) = c | Potenzieren: x = b^c |
| Linear im Logarithmus | a·log_b(x) + c = d | Logarithmus isolieren, dann potenzieren |
| Summe von Logarithmen | log(f(x)) + log(g(x)) = N | Produktgesetz anwenden, danach Polynom lösen |
| Natürlicher Logarithmus | ln(ax+b) = c | Mit e potenzieren: ax+b = e^c |
| Gleichheit bei gleicher Basis | log_b(quadratischer Ausdruck) = N | Quadratischen Ausdruck = b^N setzen, lösen und Definitionsbereich prüfen |
Die fünf wichtigsten Logarithmengesetze
Für das Lösen logarithmischer Gleichungen sind diese Rechengesetze entscheidend:
- Produktgesetz: log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). Damit wird eine Summe von Logarithmen zu einem Logarithmus zusammengefasst.
- Quotientengesetz: log_b(x/y) = log_b(x) − log_b(y). Damit wird eine Differenz von Logarithmen zusammengefasst.
- Potenzgesetz: log_b(x^n) = n·log_b(x). Damit wird ein Faktor vor dem Logarithmus als Exponent in das Argument gebracht.
- Basiswechselformel: log_b(x) = ln(x)/ln(b). Wandelt jede Basis zur numerischen Berechnung in natürliche Logarithmen um.
- Umkehrbeziehung: b^(log_b(x)) = x. Die grundlegende Umkehrung, mit der ein isolierter Logarithmus entfernt wird.
Definitionsbereich und Scheinlösungen
Der wichtigste Punkt beim Lösen logarithmischer Gleichungen ist die Einschränkung des Definitionsbereichs: log_b(u) ist nur für u > 0 definiert. Diese Bedingung muss für jedes Logarithmusargument der Gleichung gleichzeitig gelten. Führt eine Summe von Logarithmen zu einer quadratischen Gleichung, muss jede Nullstelle einzeln geprüft werden. Eine Nullstelle ist eine Scheinlösung , wenn beim Einsetzen mindestens ein Argument null oder negativ wird.
Beim Lösen von log(x) + log(x−3) = 1 entstehen beispielsweise x = 5 und x = −2. Für x = −2 ist log(−2) nicht definiert, deshalb wird dieser Wert verworfen. Nur x = 5 ist gültig.
Natürlicher Logarithmus und Zehnerlogarithmus
Der natürliche Logarithmus (ln) verwendet die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828 als Basis. Er tritt in der Analysis, in Differentialgleichungen sowie in Wachstums- und Zerfallsmodellen auf. Der Zehnerlogarithmus (log₁₀, häufig nur „log“) hat die Basis 10 und wird bei pH-Werten, der Richterskala und Dezibelberechnungen verwendet. Beide Logarithmen erfüllen dieselben Regeln; sie unterscheiden sich nur durch ihre Basis: log(x) = ln(x) / ln(10) ≈ ln(x) / 2,3026.
Anwendungen in der Praxis
- pH-Berechnung: pH = −log[H⁺]. Die Wasserstoffionenkonzentration aus einem bekannten pH-Wert wird durch Potenzieren bestimmt: [H⁺] = 10^(−pH).
- Richterskala: Erdbebenmagnitude M = log(I/I₀). Das Intensitätsverhältnis aus der Magnitude ergibt sich als: I/I₀ = 10^M.
- Dezibel: Schallpegel L = 10·log(P/P₀). Das Leistungsverhältnis aus einem Dezibelwert folgt aus einer direkten logarithmischen Gleichung.
- Finanzmathematik: Zinseszins A = P(1+r)^t. Zum Auflösen nach der Laufzeit t werden Logarithmen verwendet: t = log(A/P) / log(1+r).
- Informationstheorie: Shannon-Entropie H = −∑ p·log₂(p). Die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten aus Entropiewerten führt auf logarithmische Gleichungen.
- Radioaktiver Zerfall: N(t) = N₀·e^(−λt). Zum Auflösen nach der Zeit wird der natürliche Logarithmus verwendet: t = ln(N/N₀) / (−λ).
Ausführliches Beispiel: log₂(x+3) + log₂(x−1) = 5
Schritt 1 — Mit dem Produktgesetz zusammenfassen: log₂((x+3)(x−1)) = 5
Schritt 2 — Beide Seiten zur Basis 2 potenzieren: (x+3)(x−1) = 2⁵ = 32
Schritt 3 — Ausmultiplizieren: x² + 2x − 3 = 32 → x² + 2x − 35 = 0
Schritt 4 — Faktorisieren oder Mitternachtsformel anwenden: (x+7)(x−5) = 0 → x = −7 oder x = 5
Schritt 5 — Definitionsbereich prüfen: x = −7: log₂(−7+3) = log₂(−4) — nicht definiert. x = 5: log₂(8) und log₂(4) — beide definiert.
Ergebnis: x = 5 (x = −7 ist eine Scheinlösung)