Was ist die Basiswechselformel und wozu wird sie benötigt?

Die Basiswechselformel lautet log_a(b)=log(b)/log(a)=ln(b)/ln(a). Die meisten Rechner bieten nur log zur Basis 10 und den natürlichen Logarithmus ln. Beispielsweise berechnet man log zur Basis 5 von 100 als log(100)/log(5)≈2,861. Die Formel ist daher wichtig, wenn die Basis weder 10 noch e ist.

Wie löst man eine in e^x quadratische Gleichung wie e^(2x)-5e^x+6=0?

Mit der Substitution u=e^x entsteht u²-5u+6=0. Faktorisieren oder die quadratische Lösungsformel liefert u=2 oder u=3. Rücksubstitution ergibt x=ln(2)≈0,693147 und x=ln(3)≈1,098612. Nur positive u-Werte sind zulässig, weil e^x stets positiv ist.

Was ist beim Lösen von Exponentialgleichungen der Unterschied zwischen ln und log?

Der natürliche Logarithmus ln hat die Basis e≈2,71828, der Zehnerlogarithmus log die Basis 10. Bei Gleichungen mit Basis e liefert ln die einfachste Form. Für andere Basen gilt x=ln(b)/ln(a)=log(b)/log(a); beide Ausdrücke ergeben denselben Zahlenwert.

Kann eine Exponentialgleichung keine Lösung haben?

Ja. Für a>0 und a≠1 gilt a^x>0 für alle reellen x. Deshalb besitzen Gleichungen wie 2^x=-5 oder k·a^x=b mit b/k≤0 keine reelle Lösung. Bei quadratischen Formen muss ein substituierter Wert u≤0 ebenfalls verworfen werden.

Wo kommen Exponentialgleichungen im Alltag vor?

Exponentialgleichungen treten unter anderem bei Zinseszins, radioaktivem Zerfall, Bevölkerungswachstum, pH-Berechnungen, der Richterskala, Schallintensität in Dezibel und der zeitlichen Veränderung von Medikamentenkonzentrationen auf.

𝑒ₓ

Exponentialgleichungs-Rechner

aˣ = b · Linearer Exponent · Natürliches e · Quadratisch in eˣ

Exponentialgleichungen mit Logarithmen Schritt für Schritt lösen. Unterstützt a^x = b, a^(mx+n) = b, Formen mit natürlichem Logarithmus und quadratische Gleichungen in eˣ. Exakte und dezimale Lösungen mit Graph.

Gleichungstyp

Schnellbeispiele

Gleichungsvorschau

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Logarithmengesetze – Übersicht

Produktregel

log(AB) = log A + log B

Quotientenregel

log(A/B) = log A − log B

Potenzregel

log(Aⁿ) = n · log A

Basiswechsel

logₐ(b) = log(b)/log(a)

Identität des natürlichen Logarithmus

ln(eˣ) = x

Logarithmus von 1

logₐ(1) = 0 (für jedes a)

Logarithmus der Basis

logₐ(a) = 1

Umkehreigenschaft

a^(logₐ(x)) = x

Was sind Exponentialgleichungen?

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable im Exponenten steht. Die einfachste Form lautet aˣ = b und beantwortet die Frage: „Mit welcher Potenz muss a potenziert werden, damit b entsteht?“ Solche Gleichungen treten in Naturwissenschaft, Finanzmathematik und Technik immer dann auf, wenn eine Größe im Zeitverlauf multiplikativ wächst oder abnimmt.

Anders als Polynomgleichungen lassen sich Exponentialgleichungen nicht allein durch gewöhnliche algebraische Umformungen lösen. Das entscheidende Hilfsmittel ist der Logarithmus. Aus log(aˣ)=x·log(a) folgt, dass sich die Exponentialgleichung durch Logarithmieren beider Seiten in eine leicht lösbare lineare Gleichung umwandeln lässt.

Exponentialgleichungen Schritt für Schritt lösen

Typ 1 – Grundform: aˣ = b

Beide Seiten werden mit einer beliebigen Logarithmusbasis logarithmiert; danach wird die Potenzregel angewendet:

Logarithmieren: log(aˣ) = log(b)
Potenzregel: x · log(a) = log(b)
x isolieren: x = log(b) / log(a), also die Basiswechselformel

Beispiel: 5ˣ = 100 → x = log(100)/log(5) = 2/log(5) ≈ 2,861353

Typ 2 – Linearer Exponent: a^(mx+n) = b

Nach dem Logarithmieren wird die Potenzregel angewendet und die entstehende lineare Gleichung gelöst:

Logarithmieren: (mx + n) · log(a) = log(b)
Teilen: mx + n = log(b)/log(a)
n subtrahieren: mx = log(b)/log(a) − n
Durch m teilen: x = (log(b)/log(a) − n) / m

Typ 3 – Koeffizientenform: k·aˣ = b

Zuerst werden beide Seiten durch k geteilt, damit der Exponentialterm allein steht: aˣ=b/k. Anschließend wird wie bei der Grundform verfahren. Ist b/k≤0, existiert keine reelle Lösung.

Typ 4 – Natürliche Exponentialfunktion: eˣ = c oder e^(ax+b) = c

Hier wird der natürliche Logarithmus ln verwendet, weil ln und die Exponentialfunktion zur Basis e Umkehrfunktionen sind:

eˣ = c → x = ln(c)
e^(ax+b) = c → ax + b = ln(c) → x = (ln(c) − b) / a

Typ 5 – Quadratisch in eˣ

Eine Gleichung wie e^(2x)−5eˣ+6=0 wird durch die Substitution u=eˣ zu einer quadratischen Gleichung:

Substitution: u² − 5u + 6 = 0
Faktorisieren oder quadratische Lösungsformel: u = 2 oder u = 3
Rücksubstitution: x = ln(2) ≈ 0,693147 oder x = ln(3) ≈ 1,098612
Jeden Wert u≤0 verwerfen, da eˣ stets positiv ist.

Anwendungen von Exponentialgleichungen

Gebiet	Gleichung	Bedeutung von x beziehungsweise t
Zinseszins	A = P · e^(rt)	Zeit bis zum Kapital A
Radioaktiver Zerfall	N = N₀ · e^(−λt)	Zeit bis zur Menge N
Bevölkerungswachstum	P = P₀ · a^t	Zeit bis zur Bevölkerung P
pH-Wert	pH = −log[H⁺]	H⁺-Konzentration
Erdbebenstärke	M = log(A/A₀)	Amplitudenverhältnis
Schallpegel	dB = 10 · log(I/I₀)	Intensitätsverhältnis

Natürlicher Logarithmus und Zehnerlogarithmus

Sowohl der natürliche Logarithmus ln zur Basis e als auch der Zehnerlogarithmus log liefern für x denselben Zahlenwert. Nach der Basiswechselformel gilt ln(b)/ln(a)=log(b)/log(a). Bei der Basis e ist ln die übersichtlichste Schreibweise; für alle anderen Basen kann ebenso gut log verwendet werden. Wichtig ist nur, innerhalb einer Rechnung dieselbe Logarithmusart beizubehalten.

Häufige Fehler vermeiden

Bedingungen für die Basis übersehen: Für eine eindeutige Lösung von aˣ=b muss a positiv und ungleich 1 sein.
Eine negative Zahl logarithmieren: Da aˣ stets positiv ist, besitzt die Gleichung für b≤0 keine reelle Lösung.
Den Koeffizienten k vergessen: Bei k·aˣ=b muss der Exponentialterm zuerst durch Division durch k isoliert werden.
Negative u-Lösungen übernehmen: Bei der Substitution u=eˣ sind nur positive Werte von u zulässig.
Logarithmusarten mischen: Innerhalb einer Rechnung sollten ln oder log konsequent verwendet werden.
Zu früh runden: Mit voller Genauigkeit rechnen und erst das Endergebnis auf die gewünschte Stellenzahl runden.

Häufig gestellte Fragen

Wie löst man eine Exponentialgleichung wie 2^x=32?

Man logarithmiert beide Seiten: x·log(2)=log(32). Durch Division durch log(2) folgt x=log(32)/log(2)=5. Die Wahl von log oder ln ändert das Ergebnis nicht.

Was ist die Basiswechselformel?

Sie lautet logₐ(b)=log(b)/log(a)=ln(b)/ln(a). Damit kann ein Logarithmus zu einer beliebigen Basis mit den üblichen Tasten log oder ln berechnet werden.

Wie löst man a^(mx+n)=b nach x auf?

Nach dem Logarithmieren gilt mx+n=log(b)/log(a). Anschließend wird n subtrahiert und durch m dividiert.

Wie löst man eine Gleichung, die quadratisch in e^x ist?

Mit der Substitution u=e^x wird die Gleichung zu einer quadratischen Gleichung in u. Nach deren Lösung setzt man zurück: x=ln(u). Wegen e^x>0 sind nur positive u-Werte zulässig.

Was ist der Unterschied zwischen ln und log?

ln bezeichnet den Logarithmus zur Basis e, log meist den Zehnerlogarithmus. Über die Basiswechselformel liefern beide bei Exponentialgleichungen dasselbe numerische Ergebnis.

Kann eine Exponentialgleichung keine Lösung besitzen?

Ja. Für eine positive Basis ungleich 1 ist a^x stets positiv. Eine Gleichung wie 2^x=−5 besitzt deshalb keine reelle Lösung.

Wo treten Exponentialgleichungen praktisch auf?

Sie modellieren unter anderem Zinseszins, radioaktiven Zerfall, Bevölkerungswachstum, pH-Werte, Schallpegel und Wirkstoffkonzentrationen.