Umkehrfunktion-Rechner
f⁻¹(x) · Schrittweise · Definitions- und Wertebereich · Graph
Bestimmen Sie die Umkehrfunktion f⁻¹(x) von linearen Funktionen, Potenzfunktionen, quadratischen und gebrochen-rationalen Funktionen sowie Exponential-, Logarithmus- und Wurzelfunktionen – mit vollständigem Rechenweg, Definitions- und Wertebereich sowie Graph.
Schnellbeispiele
Ergebnis der Umkehrfunktion
Ausgangsfunktion f(x)
Umkehrfunktion f⁻¹(x)
Schrittweise Herleitung
Definitions- und Wertebereich
| Funktion | Definitionsbereich | Wertebereich |
|---|
Hinweis: Definitionsbereich von f = Wertebereich von f⁻¹ | Wertebereich von f = Definitionsbereich von f⁻¹
Überprüfung – Verkettung der Funktionen
Numerische Prüfung bei x = 2
Graph – f(x), f⁻¹(x) und y = x
Injektivitätstest
Was ist eine Umkehrfunktion?
Eine Umkehrfunktion f⁻¹(x) macht die Wirkung von f(x) rückgängig. Ordnet f eine Eingabe a einem Ausgabewert b zu, also f(a) = b, dann bildet f⁻¹ den Wert b wieder auf a ab: f⁻¹(b) = a. Beide Funktionen erfüllen die Verkettungsregeln:
f(f⁻¹(x)) = x für alle x im Definitionsbereich von f⁻¹ f⁻¹(f(x)) = x für alle x im Definitionsbereich von f
Umkehrfunktionen sind in Mathematik, Naturwissenschaften und Technik grundlegend. Die Beziehungen zwischen Potenzieren und Logarithmieren, Quadrieren und Wurzelziehen sowie Kodieren und Dekodieren beruhen auf dem Prinzip der Funktionsumkehrung.
Der Horizontalentest
Eine Funktion f(x) besitzt auf ihrem gesamten Definitionsbereich genau dann eine Umkehrfunktion, wenn sie eineindeutig (injektiv) ist, also jedem Ausgabewert genau eine Eingabe entspricht. Der Horizontalentest prüft dies grafisch: Jede waagerechte Gerade darf den Funktionsgraphen höchstens einmal schneiden. Dann ist f injektiv und die Umkehrfunktion global definiert.
Besteht eine Funktion den Horizontalentest nicht – etwa f(x) = x² auf ganz ℝ –, lässt sich durch Einschränken des Definitionsbereichs dennoch eine Umkehrfunktion bilden. Für f(x) = x² mit x ≥ 0 ist beispielsweise f⁻¹(x) = √x eindeutig definiert.
Umkehrfunktion algebraisch bestimmen
Das Standardverfahren zum Berechnen einer Umkehrfunktion besteht aus vier Schritten:
- Schritt 1: Ersetzen Sie f(x) durch y.
- Schritt 2: Vertauschen Sie x und y in der Gleichung.
- Schritt 3: Lösen Sie die entstandene Gleichung nach y auf.
- Schritt 4: Schreiben Sie f⁻¹(x) als den ermittelten Ausdruck.
Beispiel f(x) = 2x + 3: Zunächst gilt y = 2x + 3. Nach dem Vertauschen erhält man x = 2y + 3. Nach y aufgelöst folgt y = (x − 3)/2 und damit f⁻¹(x) = (x − 3)/2.
Einschränkungen von Definitions- und Wertebereich
Entscheidend ist: Der Definitionsbereich von f entspricht dem Wertebereich von f⁻¹, und der Wertebereich von f entspricht dem Definitionsbereich von f⁻¹. Einschränkungen sind nötig, wenn die Ausgangsfunktion nur auf einem Teil ihres Definitionsbereichs injektiv ist.
| f(x) | f⁻¹(x) | Definitionsbereich von f | Definitionsbereich von f⁻¹ |
|---|---|---|---|
| 2x + 3 | (x−3)/2 | Alle reellen Zahlen | Alle reellen Zahlen |
| x² (x≥0) | √x | [0, ∞) | [0, ∞) |
| eˣ | ln(x) | Alle reellen Zahlen | (0, ∞) |
| log₂(x) | 2ˣ | (0, ∞) | Alle reellen Zahlen |
| √(x−1) | x²+1 (x≥0) | [1, ∞) | [0, ∞) |
Anwendungen im Alltag und in der Technik
Umkehrfunktionen kommen in der angewandten Mathematik und Informatik in vielen Bereichen vor:
- Temperaturumrechnung: F = (9/5)C + 32 und die Umkehrung C = (5/9)(F − 32) sind lineare Umkehrfunktionen für alltägliche Umrechnungen.
- Kryptografie und Datenkodierung: Ver- und Entschlüsselung, etwa RSA-Potenzierung und die modulare Inverse, beruhen auf umkehrbaren Abbildungen.
- Logarithmus- und Exponentialpaare: Beim Zinseszins gilt A = Pe^(rt); zum Auflösen nach t wird die Umkehrung t = ln(A/P) / r benötigt.
- Signalverarbeitung: Die inverse Fourier-Transformation kehrt die Fourier-Transformation um und rekonstruiert ein Signal aus seinem Frequenzspektrum.
- Physik: Das Snelliussche Brechungsgesetz bestimmt den Brechungswinkel mithilfe von arcsin, der Umkehrfunktion des Sinus.
Der Umkehrsatz in der Differentialrechnung
In der Differentialrechnung besagt der Umkehrsatz: Ist f an der Stelle a differenzierbar und gilt f'(a) ≠ 0, dann ist f⁻¹ an der Stelle b = f(a) differenzierbar, und es gilt:
(f⁻¹)'(b) = 1 / f'(a) mit b = f(a)
Diese Kehrwertbeziehung dient zur Ableitung inverser trigonometrischer Funktionen wie arcsin, arccos und arctan, inverser hyperbolischer Funktionen und komplexer Logarithmen, ohne die Umkehrfunktion ausdrücklich auflösen zu müssen. Weil etwa d/dx[sin x] = cos x gilt, lautet die Ableitung von arcsin an einer Stelle y: 1/cos(arcsin(y)) = 1/√(1−y²).
Spiegelung des Graphen an y = x
Geometrisch gilt: Der Graph von f⁻¹(x) ist stets die Spiegelung des Graphen von f(x) an der Geraden y = x. Durch das Vertauschen von x und y wird jeder Punkt (a, b) auf f zum Punkt (b, a) auf f⁻¹. Die Gerade y = x hat zu beiden Punkten denselben Abstand und ist daher die genaue Spiegelachse. Der interaktive Graph auf dieser Seite zeichnet f, f⁻¹ und y = x gemeinsam, sodass diese Symmetrie direkt sichtbar wird.