Rechner zur Funktionenverkettung
f(g(x)) · g(f(x)) · f(f(x)) · Schritt für Schritt · Definitionsbereich · Graph
Verketten Sie zwei Funktionen symbolisch und numerisch. Angezeigt werden die Einsetzungsschritte, Einschränkungen des Definitionsbereichs und ein Graph der drei Verknüpfungen.
Schnellbeispiele
Syntax: ^ für Potenzen und * für Multiplikation verwenden, sqrt(x), abs(x), log(x), ln(x), sin(x), cos(x), tan(x), exp(x)
Schrittweise Einsetzung – (f∘g)(x)
Definitionsbereich verketteter Funktionen
Graph
Graphbereich: x ∈ [−6, 6]. Werte außerhalb von [−20, 20] werden für eine bessere Lesbarkeit abgeschnitten.
Schreibweise und Eigenschaften
Schreibweise f∘g
(f∘g)(x) = f(g(x))
Zuerst g, danach f anwenden. Gelesen: „f verkettet mit g“ oder „f von g von x“.
Schreibweise g∘f
(g∘f)(x) = g(f(x))
Zuerst f, danach g anwenden. Die Reihenfolge ist gegenüber f∘g umgekehrt.
Kommutativität
f∘g ≠ g∘f (im Allgemeinen)
Die Verkettung ist nicht kommutativ; die Reihenfolge ist entscheidend.
Assoziativität
(f∘g)∘h = f∘(g∘h)
Die Verkettung ist assoziativ; die Klammerung ändert das Ergebnis nicht.
Umkehrfunktion und Identität
(f∘f⁻¹)(x) = x
Die Verkettung einer Funktion mit ihrer Umkehrfunktion ergibt die Identitätsfunktion.
Regel für den Definitionsbereich
Dom(f∘g) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom(f)}
x muss für g zulässig sein und g(x) muss im Definitionsbereich von f liegen.
Was ist eine Funktionenverkettung?
Die Funktionenverkettung ist eine grundlegende mathematische Operation, bei der eine Funktion auf das Ergebnis einer anderen angewendet wird. Für zwei Funktionen f und g ist die Verkettung (f∘g)(x) – gesprochen „f verknüpft mit g an der Stelle x“ – als f(g(x)) definiert. Zuerst wird g an der Stelle x ausgewertet; anschließend dient dieses Ergebnis als neue Eingabe für f.
Ein Beispiel: Für f(x) = 2x + 1 und g(x) = x² gilt (f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1. Die innere Funktion g verändert zuerst x, danach verarbeitet die äußere Funktion f das Ergebnis.
Die Reihenfolge ist entscheidend: f∘g und g∘f
Eine der wichtigsten Eigenschaften der Funktionenverkettung lautet: Sie ist nicht kommutativ. Werden die Funktionen vertauscht, entsteht im Allgemeinen eine andere Funktion:
- (f∘g)(x) = f(g(x)): zuerst g, danach f anwenden
- (g∘f)(x) = g(f(x)): zuerst f, danach g anwenden
Im gleichen Beispiel erhält man (g∘f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)² = 4x²+4x+1. Das unterscheidet sich deutlich von 2x²+1. Achten Sie deshalb stets darauf, welche Funktion innen steht und zuerst ausgeführt wird.
Definitionsbereich einer verketteten Funktion
Bei der Verkettung können Einschränkungen des Definitionsbereichs entstehen, die bei den einzelnen Funktionen nicht sofort sichtbar sind. Der Definitionsbereich von (f∘g) enthält genau die x-Werte, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen:
- x muss im Definitionsbereich von g liegen, damit g(x) definiert ist.
- g(x) muss im Definitionsbereich von f liegen, damit f(g(x)) definiert ist.
Beispiel: f(x) = √x erfordert x ≥ 0, während g(x) = x − 3 für alle reellen Zahlen definiert ist. Für (f∘g)(x) = √(x−3) muss x − 3 ≥ 0 gelten, also x ≥ 3. Die Verkettung führt damit eine Einschränkung ein, die g allein nicht besitzt.
Assoziativität und Selbstverkettung
Die Funktionenverkettung ist zwar nicht kommutativ, aber assoziativ: (f∘g)∘h = f∘(g∘h). Beim Verketten von drei oder mehr Funktionen spielt die Klammerung daher keine Rolle – entscheidend bleibt die Reihenfolge.
Bei der Selbstverkettung f∘f, manchmal auch f² geschrieben, wird f zweimal angewendet: f(f(x)). Das ist unter anderem bei iterativen Verfahren, Fraktalen wie der Mandelbrot-Menge und dynamischen Systemen nützlich, in denen die wiederholte Anwendung derselben Regel eine zeitliche Entwicklung beschreibt.
Umkehrfunktionen und Verkettung
Die Umkehrfunktion von f wird mit f⁻¹ bezeichnet und gerade über die Verkettung charakterisiert: (f∘f⁻¹)(x) = x und (f⁻¹∘f)(x) = x. Eine Funktion und anschließend ihre Umkehrfunktion anzuwenden, macht die Abbildung rückgängig und liefert den ursprünglichen Wert. Deshalb spielen Umkehrfunktionen in der Algebra eine zentrale Rolle.
Verkettung und Kettenregel in der Analysis
In der Differentialrechnung ist die Kettenregel die Ableitungsregel für verkettete Funktionen. Für h(x) = f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)
Die Ableitung der Verkettung ist also die an der inneren Funktion ausgewertete Ableitung der äußeren Funktion, multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion. Diese Regel gehört zu den am häufigsten verwendeten Verfahren der Differentialrechnung.
Funktionenverkettung in der Programmierung
In der Informatik entspricht die Funktionenverkettung der sogenannten Funktionsweiterleitung oder einer Funktionskette. In funktionalen Programmiersprachen wie Haskell, Elm oder F# lassen sich Funktionen mit einem Verkettungsoperator, häufig . oder >>, zu Verarbeitungsketten verbinden. h = f . g bedeutet dabei wie in der Mathematik: zuerst g, danach f.
Praktische Anwendungen sind Datenpipelines, in denen etwa Normalisierung, Kodierung und Klassifikation nacheinander erfolgen, Grafikberechnungen mit Rotation, Skalierung und Projektion sowie Middleware-Ketten auf Webservern.
Übersicht: häufige Funktionenverkettungen
| f(x) | g(x) | (f∘g)(x) | (g∘f)(x) |
|---|---|---|---|
| 2x+3 | x² | 2x²+3 | (2x+3)² = 4x²+12x+9 |
| √x | x+1 | √(x+1) | √x+1 |
| 1/x | x−3 | 1/(x−3) | 1/x−3 |
| x² | 2x−1 | (2x−1)²=4x²−4x+1 | 2x²−1 |
| ln(x) | exp(x) | ln(eˣ) = x | e^(ln x) = x |