Prüfer für gerade und ungerade Funktionen
Ungerade · Gerade · Weder noch · Schrittweiser Nachweis · Symmetriegraph
Bestimmen Sie, ob f(x) gerade, ungerade oder weder noch ist. Sie erhalten sofort einen algebraischen Nachweis, eine numerische Prüftabelle und einen Symmetriegraphen.
Schnellbeispiele
Unterstützt: +, -, *, /, ^, sin, cos, tan, abs, sqrt, x^n
Ergebnis
f(x)
f(-x)
Nachweis Schritt für Schritt
Numerische Prüftabelle
Auswertung an ausgewählten Prüfpunkten. Ein Häkchen bedeutet, dass die Bedingung an diesem x-Wert erfüllt ist.
| x | f(x) | f(-x) | -f(x) | f(-x) = f(x)? | f(-x) = -f(x)? |
|---|
Symmetriegraph
Bis zu 5 Funktionen eingeben
Übersicht der Mehrfachprüfung
| # | f(x) | f(1) | f(-1) | Parität | Begründung |
|---|
Parität häufiger Funktionen
| Funktion | Parität | Regel / Begründung |
|---|---|---|
| x² | Gerade | (-x)² = x² |
| x⁴, x⁶, x^(2n) | Gerade | Monom geraden Grades |
| cos(x) | Gerade | cos(-x) = cos(x) |
| |x| | Gerade | |-x| = |x| |
| cosh(x) | Gerade | cosh(-x) = cosh(x) |
| x | Ungerade | (-x) = -x |
| x³, x⁵, x^(2n+1) | Ungerade | Monom ungeraden Grades |
| sin(x) | Ungerade | sin(-x) = -sin(x) |
| tan(x) | Ungerade | tan(-x) = -tan(x) |
| sinh(x) | Ungerade | sinh(-x) = -sinh(x) |
| x·sin(x) | Gerade | ungerade × ungerade = gerade |
| x·cos(x) | Ungerade | ungerade × gerade = ungerade |
| x² + x | Weder noch | Gerader und ungerader Term |
| x + 1 | Weder noch | f(0)=1 ≠ 0 |
| e^x | Weder noch | e^(-x) ≠ e^x und ≠ -e^x |
| 0 (Nullfunktion) | Beides | Einzige Funktion, die beides ist |
Rechenregeln für gerade und ungerade Funktionen
Produkte
- Gerade × gerade = Gerade
- Ungerade × ungerade = Gerade
- Gerade × ungerade = Ungerade
Summen
- Gerade + gerade = Gerade
- Ungerade + ungerade = Ungerade
- Gerade + ungerade = Weder noch
Verkettung
- Gerade(Gerade) = Gerade
- Gerade(Ungerade) = Gerade
- Ungerade(Ungerade) = Ungerade
Ableitungen und Integrale
- d/dx(gerade) = Ungerade
- d/dx(ungerade) = Gerade
- ∫₁₋a gerade dx = 2∫₀ᵃ f dx
- ∫₁₋a ungerade dx = 0
Was sind gerade und ungerade Funktionen?
Die Parität einer Funktion beschreibt in der Mathematik, ob ihr Graph eine Symmetrie zur y-Achse, eine Punktsymmetrie zum Ursprung oder keine dieser beiden Symmetrien besitzt. Diese Eigenschaften sind in der Analysis, der angewandten Mathematik und der Physik grundlegend.
Eine Funktion f(x) heißt gerade, wenn das Ersetzen von x durch −x denselben Ausdruck ergibt: f(−x) = f(x) für jedes x im Definitionsbereich. Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph zur y-Achse spiegelsymmetrisch ist – seine rechte und linke Seite sind Spiegelbilder.
Eine Funktion f(x) heißt ungerade, wenn das Ersetzen von x durch −x den Funktionswert negiert: f(−x) = −f(x) für jedes x im Definitionsbereich. Der Graph besitzt dann eine 180°-Drehsymmetrie zum Ursprung und bleibt bei einer halben Drehung um (0, 0) unverändert.
Algebraischer Test der Funktionsparität
Das Prüfverfahren ist direkt: Ersetzen Sie jedes x durch −x, vereinfachen Sie den neuen Ausdruck und vergleichen Sie ihn mit f(x) sowie −f(x):
- Ist das vereinfachte f(−x) identisch mit f(x), handelt es sich um eine gerade Funktion.
- Ist das vereinfachte f(−x) identisch mit −f(x), handelt es sich um eine ungerade Funktion.
- Trifft keine Gleichheit zu, ist die Funktion weder gerade noch ungerade.
Beispiel f(x) = x³: Durch x → −x entsteht f(−x) = (−x)³ = −x³ = −f(x). Deshalb ist die Funktion ungerade.
Beispiel f(x) = x²: Es gilt f(−x) = (−x)² = x² = f(x). Die Funktion ist also gerade.
Beispiel f(x) = x² + x: Hier ist f(−x) = (−x)² + (−x) = x² − x. Das entspricht weder f(x) = x² + x noch −f(x) = −x² − x. Die Funktion ist daher weder gerade noch ungerade.
Geometrische Bedeutung der Funktionssymmetrie
Die grafische Deutung ist häufig besonders anschaulich:
- Gerade Funktionen sehen links und rechts der y-Achse gleich aus. Beispiele sind die Parabel x² und die Kosinusfunktion.
- Ungerade Funktionen verlaufen durch den Ursprung – f(0) = 0 ist eine notwendige Bedingung – und stimmen nach einer Drehung um 180° um den Ursprung wieder mit sich selbst überein. Beispiele sind x³ und die Sinusfunktion.
- Funktionen der Kategorie weder noch besitzen keine dieser Symmetrien. Die Gerade f(x) = x + 1 etwa verläuft nicht durch den Ursprung und ist nicht zur y-Achse symmetrisch.
Warum ungerade Funktionen f(0) = 0 erfüllen
Ist f ungerade und gehört 0 zum Definitionsbereich, setzt man x = 0 in f(−x) = −f(x) ein. Daraus folgt f(0) = −f(0), also 2f(0) = 0 und damit f(0) = 0. Das ist eine schnelle Plausibilitätsprüfung: Liefert eine Funktion an der Stelle x = 0 einen Wert ungleich null, kann sie nicht ungerade sein.
Gerade-Ungerade-Zerlegung
Eine bemerkenswerte Eigenschaft lautet: Jede Funktion kann eindeutig in einen geraden und einen ungeraden Anteil zerlegt werden:
- Gerader Anteil: G(x) = [f(x) + f(−x)] / 2
- Ungerader Anteil: U(x) = [f(x) − f(−x)] / 2
Somit gilt f(x) = G(x) + U(x). Beispielsweise lässt sich e^x als cosh(x) + sinh(x) schreiben: Der hyperbolische Kosinus ist der gerade, der hyperbolische Sinus der ungerade Anteil. Diese Zerlegung bildet eine Grundlage der Fourier-Reihen, bei denen periodische Funktionen in Kosinus- und Sinusanteile zerlegt werden.
Parität in Fourier-Analyse und Integralrechnung
Bei der Integration spart die Funktionsparität viel Rechenarbeit. Für ein symmetrisches Intervall [−a, a] gilt:
- Ist f gerade, entspricht das Integral von −a bis a dem Doppelten des Integrals von 0 bis a.
- Ist f ungerade, ist das Integral von −a bis a genau 0, weil sich positive und negative Flächenanteile aufheben.
In Fourier-Reihen wird eine auf [−L, L] definierte Funktion als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt. Bei einer geraden Funktion treten nur Kosinusterme, bei einer ungeraden Funktion nur Sinusterme auf. Wer die Parität zuerst erkennt, reduziert den Rechenaufwand deutlich.
In der Physik sind quantenmechanische Wellenfunktionen in symmetrischen Potenzialen wie dem harmonischen Oszillator entweder gerade beziehungsweise symmetrisch oder ungerade beziehungsweise antisymmetrisch. Gerade Zustände besitzen am Mittelpunkt eine von null verschiedene Wahrscheinlichkeit, ungerade Zustände dort einen Knoten.
Parität von Polynomfunktionen
Bei Polynomen ist die Regel leicht zu merken: Ein Polynom ist gerade, wenn es ausschließlich Terme geraden Grades enthält; Konstanten haben den Grad 0 und zählen damit ebenfalls als gerade. Ein Polynom ist ungerade, wenn es ausschließlich Terme ungeraden Grades enthält. Werden gerade und ungerade Grade gemischt, ist das Polynom weder gerade noch ungerade.
| Polynom | Terme | Parität |
|---|---|---|
| 3x⁴ − 2x² + 5 | Nur gerade Grade (4, 2, 0) | Gerade |
| 7x⁵ − 4x³ + x | Nur ungerade Grade (5, 3, 1) | Ungerade |
| x³ + x² | Gemischt (3 und 2) | Weder noch |
| x⁴ + 3 | Nur gerade Grade (4, 0) | Gerade |
| 2x + 1 | Gemischt (1 und 0) | Weder noch |