Binomischer-Lehrsatz-Rechner
Vollständige Entwicklung · Pascalsches Dreieck · Bestimmten Term finden
(ax + b)ⁿ vollständig entwickeln – mit jedem Term, Binomialkoeffizienten, der passenden Zeile des Pascalschen Dreiecks und ausführlichem Rechenweg. Unterstützt n bis 20.
Schnellbeispiele
Vollständig entwickeltes Polynom
Aufschlüsselung nach Termen
Allgemeiner Term: T(k+1) = C(n,k) · (a)ⁿ⁻ᵏ · (b)ᵏ · x^(n-k)
| k | C(n,k) | aⁿ⁻ᵏ | bᵏ | Koeffizient | Potenz von x | Term |
|---|
Zeile des Pascalschen Dreiecks für n = 4
Dies sind die Binomialkoeffizienten von C(n,0) bis C(n,n).
Bestimmen Sie T(k+1) in der Entwicklung von (ax + b)ⁿ oder den Term mit einer vorgegebenen Potenz von x.
Ergebnis
Rechenschritte
Erzeugt das Pascalsche Dreieck bis zur Zeile n (maximal 15). Die hervorgehobene Zeile enthält die Binomialkoeffizienten für das gewählte n.
Pascalsches Dreieck
Hervorgehobene Zeile = gewähltes n. Jeder Eintrag ist die Summe der beiden darüberstehenden Einträge.
Zeilensummen
| Zeile n | Koeffizienten | Summe = 2ⁿ |
|---|
Was ist der binomische Lehrsatz?
Der binomische Lehrsatz liefert eine Formel, mit der sich Ausdrücke der Form (a + b)ⁿ als Summe von Potenzen von a und b entwickeln lassen:
(a + b)ⁿ = Σ k=0n C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
Dabei ist C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) der Binomialkoeffizient, auch als nCk oder „n über k“ geschrieben. Die Formel erzeugt genau n+1 Terme und gilt für beliebige reelle Zahlen a und b.
Geschichte: von Pascal bis Newton
Spezialfälle des binomischen Lehrsatzes waren bereits frühen indischen Mathematikern wie Pingala um 200 v. Chr. bekannt. Später beschäftigten sich unter anderem Omar Chayyām und der chinesische Mathematiker Yang Hui mit den Koeffizienten. Blaise Pascal systematisierte das Zahlendreieck 1653 in seinem Werk Traité du triangle arithmétique; heute ist es als Pascalsches Dreieck bekannt.
Isaac Newton verallgemeinerte den Lehrsatz 1665 auf gebrochene und negative Exponenten. Seine binomische Reihe (1+x)ⁿ = 1 + nx + n(n-1)/2! · x² + ... konvergiert für |x| < 1 auch dann, wenn n keine positive ganze Zahl ist, und wurde zu einer wichtigen Grundlage der Analysis.
Pascalsches Dreieck und Binomialkoeffizienten
Im Pascalschen Dreieck ist jeder Eintrag C(n,k) die Summe der beiden darüberliegenden Einträge: C(n,k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Die Zeile n enthält genau die Koeffizienten der Entwicklung von (a+b)ⁿ. Durch diese Rekursion lassen sich alle Koeffizienten auch ohne Fakultäten berechnen.
Referenztabelle: Binomialkoeffizienten C(n,k)
| n | Zeile (k = 0 bis n) | Summe |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 1 | 2 |
| 2 | 1 2 1 | 4 |
| 3 | 1 3 3 1 | 8 |
| 4 | 1 4 6 4 1 | 16 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 | 32 |
| 6 | 1 6 15 20 15 6 1 | 64 |
Die allgemeine Termformel
Der (k+1)-te Term in der Entwicklung von (ax + b)ⁿ lautet:
T(k+1) = C(n,k) · (ax)ⁿ⁻ᵏ · bᵏ = C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ · x^(n-k)
Für den Term mit x^r setzt man n - k = r und erhält k = n - r. Damit gilt T(n-r+1) = C(n, n-r) · aʳ · bⁿ⁻ʳ · xʳ. Ist n gerade, liegt der mittlere Term bei k = n/2.
Anwendung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung
Der binomische Lehrsatz ist die mathematische Grundlage der Binomialverteilung. Hat ein Zufallsversuch die Erfolgswahrscheinlichkeit p, beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge in n unabhängigen Versuchen:
P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ
Dies ist genau ein Term der Entwicklung von (p + (1-p))ⁿ = 1. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten für k = 0 bis n ist daher 1. Für p = 1-p = 1/2 steht dahinter dieselbe Identität wie bei C(n,0) + ... + C(n,n) = 2ⁿ.
Die binomische Näherung
Für kleine x ist die binomische Näherung (1 + x)ⁿ ≈ 1 + nx besonders nützlich. Sie behält nur die ersten beiden Terme der vollständigen Entwicklung und ist für |x| << 1 hinreichend genau. Typische Anwendungen sind:
- Physik: Näherungen bei relativistischer Energie, Gravitationspotenzial und Optik
- Finanzmathematik: Zinseszinsnäherungen bei kleinen Zinssätzen
- Ingenieurwesen: Linearisierung nichtlinearer Modelle nahe einem Arbeitspunkt
- Kombinatorik: Zählen von Pfaden, Teilmengen und Anordnungen in großen Mengen
Kombinatorische Identität: Summe der Koeffizienten = 2ⁿ
Setzt man a = b = 1, folgt aus dem binomischen Lehrsatz (1+1)ⁿ = 2ⁿ. Die Summe aller Binomialkoeffizienten in Zeile n ist somit genau 2ⁿ. Kombinatorisch entspricht das der Anzahl aller Teilmengen einer n-elementigen Menge: Jedes Element wird entweder aufgenommen oder nicht aufgenommen. Mit a = 1 und b = -1 erhält man zusätzlich die wichtige alternierende Summe C(n,0) - C(n,1) + C(n,2) - ... = 0.