nPr

Permutationen Rechner

Berechne Anordnungen mit und ohne Wiederholung sowie für Multimengen (Wörter)

Permutationen ohne Wiederholung

Reihenfolge ist wichtig, jedes Element darf nur einmal gewählt werden.

Was ist eine Permutation in der Mathematik?

Eine Permutation ist eine Anordnung von Elementen aus einer Menge, bei der die Reihenfolge entscheidend ist. Ob es sich um das Knacken eines Passworts, den Zieleinlauf bei einem Rennen oder die Platzierung von Buchstaben zur Bildung eines Wortes handelt — wann immer die Position oder Reihenfolge der Elemente den Ausgang verändert, spricht man von Permutationen.

Permutationen ohne Wiederholung (nPr)

Hier wählt man r Elemente aus n verschiedenen Elementen aus, ohne dass ein Element mehrfach verwendet werden darf (z. B. beim Verteilen von Medaillen: Gold, Silber, Bronze an 10 Athleten). Niemand kann zwei Medaillen gewinnen.

P(n, r) = n! / (n − r)!

Wobei:
n = Gesamtanzahl der verfügbaren Elemente
r = Anzahl der zu wählenden Elemente (manchmal auch 'k')

Permutationen mit Wiederholung

Wenn die Elemente zurückgelegt oder mehrfach verwendet werden dürfen (z. B. ein 4-stelliger PIN-Code aus den Ziffern 0-9). Jede Stelle hat n Möglichkeiten.

Permutationen mit Wiederholung = n^r

Ein 4-stelliger PIN aus 10 Ziffern: 10^4 = 10.000 Möglichkeiten.

Multinomialkoeffizient (Permutation von Multimengen)

Diese Variante wird verwendet, wenn man n Elemente anordnen möchte, aber einige Elemente absolut identisch (nicht unterscheidbar) sind. Das klassische Beispiel sind Anagramme. Um herauszufinden, wie viele verschiedene Wörter man aus den Buchstaben "MISSISSIPPI" (11 Buchstaben total: 1 M, 4 I, 4 S, 2 P) bilden kann, teilt man die Gesamtfakultät (11!) durch die Fakultäten der identischen Gruppen (1! × 4! × 4! × 2!).

Multinomial = n! / (n₁! × n₂! × ... × nₖ!)

Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen

  • Permutationen: Reihenfolge zählt. Ein PIN-Code "123" ist nicht dasselbe wie "321". Schloss-Kombinationen sind mathematisch gesehen eigentlich Permutationen.
  • Kombinationen: Reihenfolge ist egal. Ein Team aus Alice und Bob ist dasselbe Team wie Bob und Alice.