Fakultät Rechner
Berechne exakte Fakultäten, Permutationen, Kombinationen & Stirling-Näherung
Lösungsweg & Aufschlüsselung
Was ist ein Fakultät Rechner?
Ein Fakultätsrechner berechnet den Wert von n! (n Fakultät) — das Produkt jeder positiven ganzen Zahl von 1 bis n. Dieses Werkzeug geht weit über eine einfache Multiplikation hinaus: Es verwendet JavaScripts native BigInt-Arithmetik, um exakte ganzzahlige Ergebnisse für jedes n von 0 bis 170 zurückzugeben, zeigt die genaue Anzahl der Ziffern an, konvertiert die Antwort in wissenschaftliche Notation, zeigt eine schrittweise Lösung und bietet erweiterte Funktionen wie Permutationen P(n,r), Kombinationen C(n,r) und die Stirling-Näherung.
Fakultät Formel & Beispiele
Die Fakultät einer nicht-negativen ganzen Zahl n wird rekursiv und iterativ definiert:
0! = 1 (per Definition — das leere Produkt)
1! = 1
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
10! = 3.628.800
Die Fakultätsfunktion wächst extrem schnell. 20! überschreitet bereits 2,4 × 1018, während 100! ≈ 9,33 × 10157 — eine Zahl mit 158 Stellen, die die Anzahl der Atome im beobachtbaren Universum (geschätzt auf 1080) in den Schatten stellt.
Fakultäten in Permutationen & Kombinationen
Die zwei wichtigsten Zählmethoden in der Kombinatorik werden beide durch Fakultäten ausgedrückt:
C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) [ohne Reihenfolge]
Permutationen zählen die Anzahl der Möglichkeiten, r Elemente aus n Elementen anzuordnen, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt. Wenn man Gold, Silber und Bronze aus 10 Athleten vergibt, gibt es P(10, 3) = 10! / 7! = 720 Möglichkeiten.
Kombinationen zählen Auswahlen, bei denen die Reihenfolge unwichtig ist. Wählt man einen 3-köpfigen Ausschuss aus 10 Kandidaten, gibt es C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = 120 mögliche Ausschüsse.
Fakultät Tabelle: 0! bis 20!
| n | n! | Stellen | Wissenschaftlich |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1.00 × 100 |
| 1 | 1 | 1 | 1.00 × 100 |
| 2 | 2 | 1 | 2.00 × 100 |
| 3 | 6 | 1 | 6.00 × 100 |
| 4 | 24 | 2 | 2.40 × 101 |
| 5 | 120 | 3 | 1.20 × 102 |
| 6 | 720 | 3 | 7.20 × 102 |
| 7 | 5.040 | 4 | 5.04 × 103 |
| 8 | 40.320 | 5 | 4.03 × 104 |
| 9 | 362.880 | 6 | 3.63 × 105 |
| 10 | 3.628.800 | 7 | 3.63 × 106 |
| 12 | 479.001.600 | 9 | 4.79 × 108 |
| 15 | 1.307.674.368.000 | 13 | 1.31 × 1012 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 | 19 | 2.43 × 1018 |