त्रिभुज लंबकेंद्र कैलकुलेटर
त्रिभुज के तीनों शीर्षों (vertices) के निर्देशांकों से उसका लंबकेंद्र (H - Orthocenter) ज्ञात करें। इसमें शीर्षलंबों के समीकरण, लंबपाद (foot of altitude) और विस्तृत बीजीय गणना चरण दिखाए जाते हैं।
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| शीर्षलंब | शीर्ष से | लंबवत भुजा | समीकरण (Equation) | लंबपाद (Foot) |
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
लंबकेंद्र (H) वह बिंदु है जहाँ एक त्रिभुज के तीनों शीर्षलंब (altitudes) एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। शीर्षलंब किसी शीर्ष से विपरीत भुजा (या उसके विस्तार) पर खींचा गया लंब रेखा खंड होता है। न्यूनकोण त्रिभुज में H अंदर होता है; समकोण त्रिभुज में H समकोण वाले शीर्ष पर होता है; अधिककोण त्रिभुज में H त्रिभुज के बाहर स्थित होता है।
त्रिभुज के किन्हीं दो शीर्षलंबों के समीकरण ज्ञात करें और उन्हें हल करें। शीर्ष A से BC पर शीर्षलंब: BC की ढाल (slope) m_BC = (y_C - y_B)/(x_C - x_B) है; शीर्षलंब की ढाल = -1/m_BC होगी; शीर्षलंब का समीकरण: y - y_A = (-1/m_BC)(x - x_A) होगा। इसी प्रकार शीर्ष B से भी शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें। इन दोनों रैखिक समीकरणों को एक साथ हल करके लंबकेंद्र H के निर्देशांक प्राप्त किए जा सकते हैं।
न्यूनकोण त्रिभुज: H त्रिभुज के भीतर स्थित होता है। समकोण त्रिभुज: H समकोण बनाने वाले शीर्ष (vertex) पर होता है। अधिककोण त्रिभुज: H त्रिभुज के बाहर अधिककोण वाले शीर्ष के पीछे की ओर स्थित होता है। समबाहु त्रिभुज: H, केंद्रक (centroid), परिकेंद्र (circumcenter) और अंतःकेंद्र (incenter) सभी एक ही बिंदु पर होते हैं।
यूलर रेखा किसी भी (समबाहु को छोड़कर) त्रिभुज के लंबकेंद्र (H), केंद्रक (G), और परिकेंद्र (O) से होकर गुजरने वाली रेखा है। केंद्रक G हमेशा लंबकेंद्र H और परिकेंद्र O को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, अर्थात OG:GH = 1:2 होता है।
लंबकेंद्र की गणना (Computing the Orthocenter)
लंबकेंद्र की गणना दो शीर्षलंब समीकरणों की प्रणाली को हल करके की जाती है। प्रत्येक शीर्षलंब विपरीत भुजा के लंबवत होता है और सामने वाले शीर्ष से गुजरता है। यदि भुजा BC की ढाल (slope) m है, तो A(x_A, y_A) से गुजरने वाले शीर्षलंब की ढाल −1/m होगी और इसका समीकरण होगा: y − y_A = (−1/m)(x − x_A)।
विशेष स्थिति: यदि कोई भुजा पूरी तरह से क्षैतिज (horizontal) है, तो उसकी विपरीत दिशा का शीर्षलंब पूरी तरह से लंबवत (vertical, x = constant) होगा। यदि कोई भुजा लंबवत है, तो उसका शीर्षलंब क्षैतिज (horizontal, y = constant) होगा।
त्रिभुज केंद्रों का सारांश
- केंद्रक G (Centroid): माध्यिकाओं (medians) का मिलन बिंदु = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)
- लंबकेंद्र H (Orthocenter): शीर्षलंबों (altitudes) का मिलन बिंदु (यह कैलकुलेटर)
- परिकेंद्र O (Circumcenter): तीनों शीर्षों से समान दूरी पर स्थित बिंदु
- अंतःकेंद्र I (Incenter): तीनों भुजाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदु
- यूलर रेखा: O, G और H बिंदु संरेख (collinear) होते हैं, जहाँ OG:GH = 1:2 होता है।