वेक्टर कैलकुलेटर
2D और 3D में सभी सामान्य वेक्टर संक्रियाएं (operations) निष्पादित करें: जोड़, घटाव, डॉट गुणनफल, क्रॉस गुणनफल, परिमाण, यूनिट वेक्टर और उनके बीच का कोण — चरण-दर-चरण कार्यप्रणाली के साथ।
वेक्टर के आयाम (Dimensions)
वेक्टर दर्ज करें
वेक्टर A
वेक्टर B
गणना के परिणाम
|A| (परिमाण)
—
|B| (परिमाण)
—
डॉट A·B
—
कोण (Angle)
—
चरण-दर-चरण हल (Step-by-Step Working)
वेक्टर सूत्रों का संदर्भ (Formulas Reference)
| संक्रिया (Operation) | सूत्र / Formula (3D) | परिणाम प्रकार |
|---|---|---|
| जोड़ (Addition) | A+B = (ax+bx, ay+by, az+bz) | वेक्टर (Vector) |
| घटाव (Subtraction) | A−B = (ax−bx, ay−by, az−bz) | वेक्टर (Vector) |
| परिमाण (Magnitude) | |A| = √(ax²+ay²+az²) | अदिश (Scalar) |
| यूनिट वेक्टर (Unit vector) | Â = A/|A| | वेक्टर (Vector) |
| डॉट गुणनफल (Dot product) | A·B = ax·bx + ay·by + az·bz | अदिश (Scalar) |
| क्रॉस गुणनफल (Cross product) | A×B = (ay·bz−az·by, az·bx−ax·bz, ax·by−ay·bx) | वेक्टर (केवल 3D) |
| वेक्टर्स के बीच कोण | θ = arccos(A·B / (|A||B|)) | कोण (डिग्री/रेडियन) |
| लंबवत परीक्षण (Perp) | A·B = 0 | बूलियन (हाँ / नहीं) |
| समानांतर परीक्षण (Parallel) | |A×B| = 0 (या A = k·B) | बूलियन (हाँ / नहीं) |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
डॉट गुणनफल (A·B) का परिणाम एक अदिश (संख्या) होता है, जो |A||B|cos(θ) के बराबर है। यह दर्शाता है कि एक वेक्टर दूसरे पर कितना प्रोजेक्ट करता है। जबकि क्रॉस गुणनफल (A×B) का परिणाम एक नया वेक्टर होता है जो मूल दोनों वेक्टर्स की सतह पर लंबवत होता है। इसका परिमाण |A||B|sin(θ) होता है, जो समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल को दर्शाता है। क्रॉस गुणनफल केवल 3D में ही परिभाषित होता है।
दो वेक्टर्स परस्पर लंबवत (orthogonal) होते हैं यदि और केवल यदि उनका डॉट गुणनफल शून्य के बराबर हो: A·B = 0। ऐसा इसलिए है क्योंकि A·B = |A||B|cos(θ), और cos(90°) = 0 होता है। उदाहरण के लिए: A = (3, 4) और B = (−4, 3) → A·B = 3×(−4) + 4×3 = −12 + 12 = 0 है।
इसके लिए डॉट गुणनफल सूत्र का उपयोग करें: θ = arccos(A·B / (|A| × |B|))। यह आपको हमेशा 0° और 180° के बीच का कोण देगा। इसके लिए सबसे पहले डॉट गुणनफल निकालें, फिर दोनों वेक्टर्स का परिमाण निकालें, डॉट गुणनफल को परिमाणों के गुणनफल से विभाजित करें और फिर इनवर्स कोसाइन (arccos) लें।
यूनिट वेक्टर एक ऐसा वेक्टर होता है जिसकी लंबाई (परिमाण) ठीक 1 होती है। यह केवल दिशा को दर्शाता है। इसे निकालने के लिए मूल वेक्टर के प्रत्येक घटक को उसके परिमाण से विभाजित किया जाता है। भौतिकी में बल या वेग की दिशा दर्शाने और 3D कंप्यूटर ग्राफिक्स में सतह की दिशा (normals) को दर्शाने के लिए यूनिट वेक्टर्स का व्यापक उपयोग किया जाता है।