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Reihensummen-Rechner

Potenzsummen · Arithmetisch · Geometrisch · Mit Rechenweg

Berechnen Sie die Summe von Σk¹, Σk², Σk³, Σk⁴ sowie arithmetischen und geometrischen Reihen – mit Herleitung, Vergleichstabelle und Balkendiagramm.

Reihentyp

Schnellbeispiele

n (Anzahl der Glieder)

p (Exponent, Formel für 1–6)

Berechnet Σ_k=1ⁿ kᴸ • Geschlossene Formel für p = 1–6; direkte Summation für p > 6

Formeln für Reihensummen: Von Gauß bis Faulhaber

Mit einer einzigen Formel lassen sich lange Zahlenfolgen in Sekunden addieren. Die Geschichte der Reihensummen reicht von der Antike bis ins Deutschland des 17. Jahrhunderts. Heute werden dieselben Ideen in der Algorithmusanalyse, Statistik, Finanzmathematik und Physik eingesetzt.

Die Gaußsche Summenformel: 1 + 2 + ... + 100 = 5050

Der Überlieferung nach sollte der junge Carl Friedrich Gauß um 1787 alle Zahlen von 1 bis 100 addieren. Er erkannte sofort: Paart man das erste und letzte Glied (1+100=101), danach 2+99 und so weiter, entstehen 50 Paare mit jeweils 101. Das Ergebnis lautet 50 × 101 = 5050. Dieses Paarungsverfahren führt zur bekannten Gaußschen Summenformel:

S(n) = n(n+1)/2 [Summe der ersten n natürlichen Zahlen]

Der Wert heißt auch n-te Dreieckszahl Tₙ, weil sich n(n+1)/2 Punkte als gleichseitiges Dreieck anordnen lassen.

Summe der Quadrate und Kuben

Die Formel für die Quadratsumme war bereits antiken griechischen und chinesischen Mathematikern bekannt. Sie erscheint in Kombinatorik, Statistik und Physik:

Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 [Quadratsumme 1² + 2² + ... + n²]

Für die Kubiksumme gilt eine besonders schöne Identität: der um 100 n. Chr. bekannte Satz von Nikomachos.

Σk³ = [n(n+1)/2]² = (Σk)² [Kubiksumme = Quadrat der Zahlensumme]

So ist 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 225 = 15² = (1+2+3+4+5)². Jede Summe der ersten n Kuben ist somit eine Quadratzahl.

Faulhabersche Formel und höhere Potenzen

Der deutsche Rechenmeister Johann Faulhaber (1580–1635) bestimmte Potenzsummen von Σk¹ bis Σk¹⁷ von Hand. Die nach ihm benannten Faulhaberschen Formeln beschreiben jede Summe Σkᴸ als Polynom vom Grad p+1 in n; der führende Koeffizient ist 1/(p+1):

p	Formel für Σ_k=1ⁿ kᴸ
1	n(n+1)/2
2	n(n+1)(2n+1)/6
3	[n(n+1)/2]²
4	n(n+1)(2n+1)(3n²+3n−1)/30
5	n²(n+1)²(2n²+2n−1)/12
6	n(n+1)(2n+1)(3n⁴+6n³−3n+1)/42

Arithmetische und geometrische Reihen

Bei einer arithmetischen Reihe wächst jedes Glied um dieselbe Differenz d. Für das erste Glied a und n Glieder lautet die Summe:

S = n/2 × (2a + (n−1)d) = n × (a + letztes Glied) / 2

Bei einer geometrischen Reihe wird jedes Glied mit demselben Quotienten r multipliziert. Für das erste Glied a und n Glieder gilt:

S = a(r⊃n; − 1) / (r − 1) für r ≠ 1 ; S = n × a für r = 1

Geometrische Reihen treten bei Zinseszins, periodischen Dezimalzahlen und in der Signalverarbeitung auf. Beispielsweise lässt sich 0,333... als unendliche geometrische Reihe mit dem Quotienten r = 1/10 darstellen.

Anwendungen in Algorithmik und Naturwissenschaften

Algorithmusanalyse: Selectionsort führt 1+2+...+(n-1) = n(n-1)/2 Vergleiche aus. Daraus folgt unmittelbar die Laufzeit O(n²).
Physik: Wegsummen bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung enthalten arithmetische Reihen; Trägheitsmomente enthalten Quadratsummen.
Finanzmathematik: Zinseszins und Rentenzahlungen lassen sich mit geometrischen Summenformeln berechnen.
Statistik: Die Varianz einer diskreten Gleichverteilung auf {1, ..., n} verwendet Σk² und Σk.
Computergrafik: Bézierkurven und B-Splines nutzen Polynomgrundlagen, deren Integrale mit Potenzsummen zusammenhängen.

Referenztabelle: Summenwerte für kleine n

n	Σk	Σk²	Σk³	Σk⁴
1	1	1	1	1
2	3	5	9	17
3	6	14	36	98
5	15	55	225	979
10	55	385	3025	25333
20	210	2870	44100	722666
100	5050	338350	25502500	2050333330

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Formel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen?

Die Formel lautet S = n(n+1)/2. Beispielsweise ist 1+2+3+...+100 = 100×101/2 = 5050. Das Ergebnis wird auch als n-te Dreieckszahl bezeichnet.

Wie lautet die Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen?

Für die ersten n Quadratzahlen gilt Σk² = n(n+1)(2n+1)/6. Bei n=10 erhält man 10×11×21/6 = 385. Die Formel wird etwa bei Varianzberechnungen und Trägheitsmomenten eingesetzt.

Wie lautet die Formel für die Summe der ersten n Kubikzahlen?

Nach dem Satz von Nikomachos gilt Σk³ = [n(n+1)/2]². Die Kubiksumme ist also das Quadrat der Summe der natürlichen Zahlen. Für n=5 ergibt sich 225 = 15².

Wie berechnet man die Summe einer arithmetischen Reihe?

Für Anfangswert a, Differenz d und n Glieder gilt S = n/2 × (2a + (n−1)d). Alternativ: S = n × (erstes Glied + letztes Glied) / 2.

Wie berechnet man die Summe einer geometrischen Reihe?

Für Anfangswert a, Quotienten r ≠ 1 und n Glieder gilt S = a(r⊃n; − 1)/(r − 1). Für r = 1 ist S = n × a. Geometrische Reihen modellieren exponentielles Wachstum und Rentenzahlungen.

Was ist die Faulhabersche Formel?

Die Faulhaberschen Formeln geben Σkᴸ für positive ganze Exponenten p als Polynom vom Grad p+1 in n an. Moderne Darstellungen bestimmen die Koeffizienten systematisch mithilfe der Bernoulli-Zahlen.

Warum ist die Kubiksumme das Quadrat der Zahlensumme?

Die Identität Σk³ = (Σk)² heißt Satz von Nikomachos. Beide Seiten sind [n(n+1)/2]². Der Satz lässt sich mit vollständiger Induktion oder geometrisch durch passende L-förmige Figuren beweisen.

Reihensummen-Rechner

Geschlossene Formel

Balkendiagramm der Teilsummen (bis zu 50 Glieder)

Tabelle der einzelnen Glieder (erste 20 Zeilen)