Warum sollte man den Satz vor dem Faktorisieren eines Polynoms anwenden?

Der Satz liefert vor jeder Faktorisierung eine vollständige endliche Liste möglicher rationaler Nullstellen. Jeder ±p/q-Kandidat wird systematisch geprüft. Ist r eine tatsächliche Nullstelle, ist (x − r) sicher ein Faktor; das Horner-Schema reduziert anschließend den Polynomgrad.

Was geschieht, wenn das Polynom keine rationalen Nullstellen hat?

Ist keiner der ±p/q-Kandidaten eine Nullstelle, besitzt das Polynom keine rationalen Nullstellen. Dann sind sie irrational oder komplex. Verwende je nach Grad die quadratische Lösungsformel, numerische Verfahren wie Newton oder ein Computeralgebrasystem.

Wie prüft das Horner-Schema einen rationalen Nullstellenkandidaten?

Das Horner-Schema ist ein Kurzverfahren zur Division eines Polynoms durch (x − c). Die Koeffizienten werden nacheinander mit c multipliziert und addiert. Der letzte Wert ist der Rest. Ist er null, ist c eine Nullstelle und (x − c) ein Faktor; die übrigen Werte bilden das reduzierte Quotientenpolynom.

Hat ein Polynom immer so viele Nullstellen wie sein Grad?

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat ein Polynom vom Grad n unter Berücksichtigung der Vielfachheit und komplexer Nullstellen genau n Nullstellen. Sie müssen jedoch weder rational noch reell sein. So hat x² + 1 die komplexen Nullstellen i und −i.

Was bedeutet eine Nullstelle mit Vielfachheit größer als eins?

Eine Nullstelle r hat die Vielfachheit k, wenn (x − r)^k das Polynom teilt, (x − r)^(k+1) jedoch nicht. In (x − 2)²(x + 1) hat x = 2 die Vielfachheit 2. Bei gerader Vielfachheit berührt der Graph die x-Achse, bei ungerader schneidet er sie. Der Rechner erkennt dies durch wiederholtes Horner-Schema.

√

Rechner zum Satz über rationale Nullstellen

p/q-Kandidaten · Horner-Schema · Tatsächliche Nullstellen · Faktorform · Stapelmodus

Gib ein Polynom ein, um alle ±p/q-Kandidaten aufzulisten, sie mit dem Restsatz zu prüfen, rationale Nullstellen zu bestimmen und die vollständige Faktorform mit Horner-Schema anzuzeigen.

Schnellbeispiele

Eingabe als:

Polynomausdruck

Verwende ^ für Exponenten · Koeffizienten müssen ganzzahlig sein · Grade 2–8 werden unterstützt

Schritt 1 – Teiler des konstanten Glieds (p) und Leitkoeffizienten (q)

p – Teiler des konstanten Glieds

q – Teiler des Leitkoeffizienten

Schritt 2 – Alle ±p/q-Kandidaten mit Restprüfung

Kandidat	Dezimalwert	f(Kandidat)	Prüfergebnis

Tatsächliche rationale Nullstellen

Vollständig faktorisierte Form

Schritt 3 – Horner-Schema für jede Nullstelle

Was besagt der Satz über rationale Nullstellen?

Der Satz über rationale Nullstellen ist ein grundlegender algebraischer Satz, der eine vollständige endliche Kandidatenliste für alle rationalen Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten liefert. Hat das Polynom a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ ganzzahlige Koeffizienten und eine vollständig gekürzte rationale Nullstelle p/q, dann muss p ein Teiler des konstanten Glieds a₀sein und q ein Teiler des Leitkoeffizienten a_n.

Der Satz war Mathematikern bereits im 16. und 17. Jahrhundert in verschiedenen Formen bekannt und erscheint besonders in den Arbeiten von René Descartes. Er folgt direkt aus dem Gaußschen Lemma: Lässt sich ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten über den rationalen Zahlen faktorisieren, so besitzt es auch eine Faktorisierung über den ganzen Zahlen. Daher muss jede rationale Nullstelle die Teilbarkeitsbedingungen für p und q erfüllen.

Praktisch verwandelt der Satz eine unendliche Suche in eine endliche, systematische Prüfliste. Für ein Polynom vom Grad n mit konstantem Glied a₀ und Leitkoeffizient a_nbeträgt die maximale Kandidatenzahl 2 × d(a₀) × d(a_n), wobei d(k) die Anzahl der positiven Teiler von k bezeichnet. Anschließend wird jeder Kandidat durch Einsetzen oder mit dem Horner-Schema geprüft. Ist der Rest null, liegt eine rationale Nullstelle vor.

So verwendest du den Rechner

Polynom eingeben im Ausdrucksfeld mit ^ für Exponenten (z. B. 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6) oder in der Koeffizientenansicht über das Raster.
Auf „Rationale Nullstellen finden“ klicken. Der Rechner bestimmt konstantes Glied und Leitkoeffizient, ermittelt deren positive Teiler und erzeugt die vollständige ±p/q-Liste.
Kandidatentabelle prüfen. Zu jedem Kandidaten werden Dezimalwert, Rest f(Kandidat) und das Ergebnis der Nullstellenprüfung angezeigt.
Tatsächliche Nullstellen ansehen Sie werden grün hervorgehoben; bei mehrfachen Nullstellen wird zusätzlich die Vielfachheit angegeben.
Horner-Schema nachvollziehen für jede bestätigte Nullstelle, einschließlich Zeilenrechnung und reduziertem Quotientenpolynom.
Faktorform ablesen Sie kombiniert alle Linearfaktoren mit einem gegebenenfalls verbleibenden irreduziblen Faktor.
Für mehrere Polynome zum Stapelmodus wechseln und je Zeile ein Polynom einfügen.

Die p/q-Formel erklärt

Bei einem Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten muss jede rationale Nullstelle r = p/q (vollständig gekürzt und q > 0) folgende Bedingungen erfüllen:

p teilt a₀ (das konstante Glied)
q teilt a_n (den Leitkoeffizienten)

Beispielsweise gilt für 2x³ − 3x² − 11x + 6: Das konstante Glied 6 hat die positiven Teiler {1, 2, 3, 6}; der Leitkoeffizient 2 hat {1, 2}. Die Kandidaten sind ±1/1, ±2/1, ±3/1, ±6/1, ±1/2 und ±3/2, also ±{1, 2, 3, 6, 1/2, 3/2}. Die Prüfung liefert x = 3, x = −2 und x = 1/2. Damit lautet die Faktorform 2(x − 3)(x + 2)(x − 1/2) = (x − 3)(x + 2)(2x − 1).

Rechenbeispiel: 2x³ − 3x² − 11x + 6

Kandidat	f(Kandidat)	Nullstelle?
1	2−3−11+6 = −6	Nein
−1	−2−3+11+6 = 12	Nein
2	16−12−22+6 = −12	Nein
−2	−16−12+22+6 = 0	Ja: x = −2
3	54−27−33+6 = 0	Ja: x = 3
1/2	2(1/8)−3(1/4)−11(1/2)+6 = 0	Ja: x = 1/2

Nach der Nullstelle x = −2 ergibt das Horner-Schema den Quotienten 2x² − 7x + 3. Die Division durch (x − 3) liefert 2x − 1 mit der Nullstelle x = 1/2. Vollständige Faktorform: (x + 2)(x − 3)(2x − 1).

Grenzen des Satzes über rationale Nullstellen

Der Satz ist leistungsfähig, erfasst jedoch ausschließlich rationale Nullstellen. Nicht gefunden werden:

Irrationale Nullstellen wie √5, 1 + √3 oder Kubikwurzeln. So besitzt x² − 2 keine rationale, aber die irrationalen Nullstellen ±√2.
Komplexe Nullstellen wie 2 + 3i. Das Polynom x² + 1 besitzt beispielsweise keine reellen Nullstellen.
Nullstellen von Polynomen mit nicht ganzzahligen Koeffizienten. Der Satz setzt ganzzahlige oder nach Beseitigung der Nenner rationale Koeffizienten voraus. Bei irrationalen Koeffizienten wie √2·x² + 1 sind numerische Verfahren erforderlich.

Liefert der Satz keine rationale Nullstelle, helfen je nach Grad die quadratische Lösungsformel, die Vorzeichenregel von Descartes oder numerische Verfahren wie Newton- beziehungsweise Bisektionsverfahren.

Häufig gestellte Fragen

Was besagt der Satz über rationale Nullstellen?

Bei einem Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten muss für jede vollständig gekürzte rationale Nullstelle p/q gelten: p teilt das konstante Glied und q den Leitkoeffizienten. Dadurch entsteht eine endliche Liste von ±p/q-Kandidaten.

Warum sollte man den Satz vor dem Faktorisieren anwenden?

Der Satz liefert einen systematischen Ausgangspunkt. Ist eine rationale Nullstelle r bestätigt, ist (x − r) ein Faktor und das Horner-Schema reduziert den Polynomgrad. Der Vorgang wird wiederholt, bis nur noch ein quadratischer oder linearer Faktor übrig bleibt.

Was geschieht, wenn keine rationalen Nullstellen existieren?

Wenn alle ±p/q-Kandidaten einen Rest ungleich null ergeben, besitzt das Polynom keine rationalen Nullstellen. Dann sind die Nullstellen irrational oder komplex. Für Grad 2 eignet sich die quadratische Lösungsformel; bei höheren Graden helfen die Vorzeichenregel von Descartes, numerische Verfahren oder ein Computeralgebrasystem.

Was unterscheidet mögliche von tatsächlichen rationalen Nullstellen?

Mögliche rationale Nullstellen sind alle vom Satz erzeugten ±p/q-Kandidaten. Tatsächliche Nullstellen sind genau jene Kandidaten mit f(r) = 0. Keine rationale Nullstelle liegt außerhalb der Liste, doch viele Kandidaten fallen bei der Prüfung weg. Beispielsweise hat x³ − 6x² + 11x − 6 acht Kandidaten, aber nur die drei Nullstellen 1, 2 und 3.

Wie prüft das Horner-Schema einen Kandidaten?

Schreibe die Koeffizienten in eine Zeile, übernimm den Leitkoeffizienten, multipliziere ihn mit c und addiere zum nächsten Koeffizienten. Wiederhole dies bis zum letzten Wert. Dieser ist der Rest. Ist er null, ist c eine Nullstelle und (x − c) ein Faktor; die übrigen Werte sind die Koeffizienten des Quotientenpolynoms vom Grad n − 1.

Findet der Satz irrationale oder komplexe Nullstellen?

Nein. Der Satz behandelt ausschließlich rationale Zahlen, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben lassen. Irrationale Nullstellen wie √5 und komplexe wie 2+3i liegen außerhalb seines Anwendungsbereichs. Verwende dafür die quadratische Lösungsformel, die Vorzeichenregel von Descartes oder numerische Näherungsverfahren.

Was bedeutet die Vielfachheit einer Nullstelle?

Eine Nullstelle r hat die Vielfachheit k, wenn (x − r)^k das Polynom teilt, (x − r)^k+1 jedoch nicht. In (x − 2)²(x + 1) hat x = 2 die Vielfachheit 2 und x = −1 die Vielfachheit 1. Nullstellen gerader Vielfachheit berühren die x-Achse, solche ungerader Vielfachheit schneiden sie. Der Rechner erkennt die Vielfachheit durch wiederholtes Horner-Schema.

Hat jedes Polynom vom Grad n genau n rationale Nullstellen?

Nein. Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert unter Einbeziehung komplexer Nullstellen und ihrer Vielfachheiten genau n Nullstellen. Diese müssen jedoch weder rational noch reell sein. Der Satz über rationale Nullstellen erfasst nur den rationalen Teil.

Rechner zum Satz über rationale Nullstellen

Schritt 3 – Horner-Schema für jede Nullstelle

Was besagt der Satz über rationale Nullstellen?

So verwendest du den Rechner

Die p/q-Formel erklärt

Rechenbeispiel: 2x³ − 3x² − 11x + 6

Grenzen des Satzes über rationale Nullstellen

Häufig gestellte Fragen

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