Descartes-Vorzeichenregel-Rechner
Positive Nullstellen · Negative Nullstellen · Komplexe Paare · Vorzeichenwechsel
Geben Sie ein Polynom ein, um mit der Vorzeichenregel von Descartes alle möglichen Kombinationen positiver, negativer und komplexer Nullstellen zu bestimmen. Die Vorzeichenfolgen werden Schritt für Schritt ausgewertet.
Schnellbeispiele
Als Ausdruck (x^3 - 3x + 2) oder als durch Leerzeichen getrennte Koeffizienten vom höchsten zum niedrigsten Grad eingeben (1 0 -3 2).
Vorzeichenfolge von f(x) – Analyse positiver Nullstellen
Von null verschiedene Koeffizienten in absteigender Gradfolge. Orange Kreise markieren Vorzeichenwechsel.
Herleitung von f(−x) – Analyse negativer Nullstellen
Koeffizienten ungerader Potenzen wechseln ihr Vorzeichen. Orange Kreise markieren die Wechsel in f(−x).
Alle zulässigen Nullstellenkombinationen
Jede zulässige Kombination aus positiven, negativen und komplexen Nullstellen, bei der Grad − positiv − negativ eine gerade nichtnegative Zahl ist.
| Positive reelle Nullstellen | Negative reelle Nullstellen | Komplexe Paare | Gesamt |
|---|
Obere und untere Schranken reeller Nullstellen
Was ist die Vorzeichenregel von Descartes?
Die Vorzeichenregel von Descartes ist ein klassischer Lehrsatz der Algebra. Sie gibt eine obere Grenze für die Anzahl positiver und negativer reeller Nullstellen eines Polynoms mit reellen Koeffizienten an. René Descartes veröffentlichte sie 1637 in La Géométrie. Bis heute ist sie ein elegantes Werkzeug der Polynomanalyse, denn es genügt, die Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge zu zählen.
Die Regel berechnet nicht die exakten Nullstellen, schränkt ihre mögliche Anzahl aber deutlich ein. Vor der Entwicklung numerischer Verfahren war sie besonders wichtig, um die Struktur eines Polynoms zu untersuchen.
Formale Aussage der Regel
Sei f(x) ein Polynom mit reellen Koeffizienten, die vom höchsten zum niedrigsten Grad angeordnet sind. Zunächst werden alle Nullkoeffizienten entfernt. Anschließend zählt man in der verbleibenden Folge jeden Wechsel von einem positiven zu einem negativen Koeffizienten oder umgekehrt. Diese Anzahl wird mit V+ bezeichnet.
Die Anzahl positiver reeller Nullstellen von f(x), jeweils mit ihrer Vielfachheit gezählt, ist dann entweder V+ oder um eine positive gerade Zahl kleiner. Möglich sind also V+, V+−2, V+−4, … bis hinunter zu 1 oder 0.
Für die maximale Zahl negativer reeller Nullstellen wird dieselbe Zählung auf f(−x) angewendet. Beim Einsetzen von −x wechseln die Koeffizienten aller Terme ungeraden Grades ihr Vorzeichen; die Koeffizienten gerader Potenzen bleiben unverändert. Die Zahl der Vorzeichenwechsel in f(−x) heißt V−. Mögliche Anzahlen negativer Nullstellen sind V−, V−−2, … bis hinunter zu 1 oder 0.
Komplexe Nullstellen treten paarweise auf
Nach dem Satz über konjugiert komplexe Nullstellen treten nichtreelle Nullstellen eines Polynoms mit reellen Koeffizienten stets in konjugierten Paaren auf: Zu a+bi gehört auch a−bi. Hat ein Polynom vom Grad n genau p positive und q negative reelle Nullstellen, bleiben n−p−q komplexe Nullstellen übrig. Diese Zahl muss gerade sein. Daher ist (n−p−q) mod 2 = 0 eine notwendige Bedingung.
Der Rechner verwendet diese Bedingung, um alle zulässigen Kombinationen aufzulisten. Für jeden Kandidaten p, beginnend bei V+ und jeweils um 2 vermindert, sowie jeden Kandidaten q, beginnend bei V− und ebenfalls um 2 vermindert, wird geprüft, ob n−p−q eine nichtnegative gerade Zahl ist. Ist dies der Fall, wird (p, q, (n−p−q)/2) als mögliche Nullstellenstruktur ausgegeben.
Algorithmus Schritt für Schritt
- Schritt 1: Alle von null verschiedenen Koeffizienten von f(x) in absteigender Gradfolge erfassen.
- Schritt 2: Aufeinanderfolgende Koeffizienten vergleichen und jeden Wechsel von + zu − oder von − zu + zählen. Das ergibt V+.
- Schritt 3: f(−x) bilden, indem die Koeffizienten von x, x³, x⁵, …, also der Terme ungeraden Grades, negiert werden.
- Schritt 4: Die Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge von f(−x) zählen. Das ergibt V−.
- Schritt 5: Alle zulässigen Paare (p, q) bilden und die Zahl der komplexen Paare als (n−p−q)/2 berechnen.
Grenzen der Vorzeichenregel
Die Vorzeichenregel liefert nur eine obere Grenze, nicht immer die exakte Anzahl. Beim Polynom x²+1 gilt V+ = 0 und V− = 0; die Regel zeigt korrekt, dass keine reellen Nullstellen existieren. Für x³−1 gilt V+ = 1 und V− = 0. Es gibt tatsächlich eine positive Nullstelle, x = 1, sowie zwei komplexe Nullstellen. Beim Polynom x⁴−5x²+4 sagt V+ dagegen zwei oder null positive Nullstellen voraus. Tatsächlich sind alle vier Nullstellen ±1 und ±2 reell, womit der Fall von zwei positiven Nullstellen enthalten ist.
Die exakte Anzahl reeller Nullstellen in einem Intervall lässt sich mit dem Sturmschen Satz bestimmen. Für konkrete Nullstellenwerte benötigt man je nach Grad die quadratische, kubische oder quartische Lösungsformel beziehungsweise bei höheren Graden numerische Verfahren.
Historischer Hinweis
René Descartes (1596–1650) formulierte die Regel 1637 in La Géométrie, zunächst ohne vollständigen Beweis. Einen strengen Beweis veröffentlichte Carl Friedrich Gauß 1828. Die Regel wird weiterhin in Computeralgebrasystemen, automatischen Beweisverfahren und als schnelle Plausibilitätsprüfung bei Polynomaufgaben eingesetzt.
Beispiele im Überblick
| Polynom | V+ für f(x) | V− für f(−x) | Mögliche Kombinationen |
|---|---|---|---|
| x³ − 3x + 2 | 2 | 1 | (2,1,0) oder (0,1,1) |
| x⁴ − x³ + x² − x + 1 | 4 | 0 | (4,0,0), (2,0,1), (0,0,2) |
| x⁵ − x⁴ + 3x³ − x + 2 | 3 | 2 | (3,2,0), (3,0,1), (1,2,1), (1,0,2) |
| 2x³ + 3x² − 11x − 6 | 1 | 2 | (1,2,0) oder (1,0,1) |
| x² + 1 | 0 | 0 | (0,0,1) |
| x⁴ − 5x² + 4 | 2 | 2 | (2,2,0), (2,0,1), (0,2,1), (0,0,2) |