Polynomdivision-Rechner
Schriftliche Division · Horner-Schema · Restwertsatz · Faktorprüfung
Teile das Polynom P(x) durch D(x). Berechne Quotient Q(x) und Rest R(x) gemäß P(x) = Q(x)·D(x) + R(x) – mit vollständigem Rechenweg.
Schnellbeispiele
P(x) = —
D(x) = —
Restwertsatz & Faktorprüfung
Schriftliche Polynomdivision — Rechenweg
Horner-Schema
Zeile 1: Ausgangskoeffizienten | Zeile 2: Produkte | Zeile 3: Summen (Quotientenkoeffizienten + Rest)
Schrittweise Erklärung
Was ist die schriftliche Polynomdivision?
Die Polynomdivision ist das Standardverfahren zum Teilen eines Polynoms durch ein anderes. Dabei entstehen ein Quotient und ein Rest. Analog zur Ganzzahldivision 17 ÷ 5 = 3 Rest 2 (also 17 = 3 × 5 + 2) gilt für Polynome P(x) = Q(x) · D(x) + R(x), wobei R(x) einen kleineren Grad als D(x) besitzt.
Das Verfahren ist ein Grundbaustein der Algebra. Es wird beim Faktorisieren und Bestimmen von Nullstellen, bei der Partialbruchzerlegung in der Analysis und sogar bei fehlerkorrigierenden Codes in der Informatik eingesetzt.
Polynomdivision Schritt für Schritt
So wird P(x) durch D(x) geteilt:
- Teile den führenden Term von P(x) durch den führenden Term von D(x). Das ergibt den ersten Quotiententerm q₁.
- Multipliziere q₁ mit dem vollständigen Divisor D(x).
- Subtrahiere dieses Produkt von P(x). Es entsteht ein Rest niedrigeren Grades.
- Wiederhole den Ablauf mit dem neuen Rest, bis dessen Grad kleiner als der Grad von D(x) ist.
- Die gesammelten Terme ergeben Q(x); der letzte verbleibende Ausdruck ist R(x).
Beispiel: Division von (2x² − x − 6) durch (x − 2):
| Schritt | Rechnung | Aktueller Rest |
|---|---|---|
| 1 | 2x² ÷ x = 2x (erster Quotiententerm) | 2x² − x − 6 |
| 2 | 2x × (x − 2) = 2x² − 4x (subtrahieren) | 3x − 6 |
| 3 | 3x ÷ x = 3 (zweiter Quotiententerm) | 3x − 6 |
| 4 | 3 × (x − 2) = 3x − 6 (subtrahieren) | 0 |
Ergebnis: Q(x) = 2x + 3, R = 0. Weil R = 0 gilt, ist (x − 2) ein Faktor von 2x² − x − 6.
Horner-Schema – der kurze Weg bei linearen Divisoren
Das Horner-Schema ist eine kompakte Methode zur Division eines Polynoms durch einen linearen Divisor (x − k). Statt vollständiger Polynomterme werden nur die Koeffizienten in einer Tabelle mit drei Zeilen verwendet:
- Zeile 1: Koeffizienten des Dividenden; fehlende Potenzen werden mit null ergänzt.
- Zeile 2: Die während der Division berechneten und nach rechts versetzten Produkte.
- Zeile 3: Summen als Quotientenkoeffizienten; der letzte Wert ist der Rest.
Das Horner-Schema ist bei der Division durch (x − k) besonders schnell. Für Divisoren zweiten oder höheren Grades kann es nicht verwendet werden; dann ist die schriftliche Polynomdivision nötig.
Der Restwertsatz
Der Restwertsatz besagt: Bei der Division von P(x) durch (x − k) ist der Rest R gleich P(k). Man kann den Rest also ohne Division ermitteln, indem man k in P(x) einsetzt. Der Rechner zeigt diese Prüfung automatisch bei linearen Divisoren an.
Der Faktorsatz
Der Faktorsatz folgt direkt aus dem Restwertsatz: (x − k) ist genau dann ein Faktor von P(x), wenn P(k) = 0 gilt. Bei Rest null ist k somit eine Nullstelle und (x − k) teilt das Polynom exakt. So lassen sich mögliche Nullstellen nacheinander prüfen und Faktoren abspalten.
Anwendungen
- Polynome faktorisieren: Mit dem Satz über rationale Nullstellen Kandidaten finden, per Horner-Schema prüfen und den Grad verringern.
- Alle Nullstellen bestimmen: Einen bestätigten linearen Faktor abdividieren und danach die Nullstellen des Quotienten berechnen.
- Partialbruchzerlegung: Ist der Zählergrad mindestens so groß wie der Nennergrad, wird zuerst der Polynomteil durch Division abgespalten.
- Rationale Terme vereinfachen: Gemeinsame Faktoren in rationalen Funktionen können erkannt und gekürzt werden.
- Fehlerkorrektur: Reed-Solomon- und CRC-Verfahren nutzen Polynomdivision über endlichen Körpern.