Was ist eine Bruchgleichung?

Eine Bruchgleichung enthält mindestens einen Bruch, dessen Zähler oder Nenner ein Polynom ist. Da die Variable im Nenner stehen kann, müssen Werte ausgeschlossen werden, die einen Nenner null machen.

Wie bestimmt man den Hauptnenner rationaler Terme?

Für den Hauptnenner werden alle Nenner vollständig faktorisiert. Jeder unterschiedliche Faktor wird in seiner höchsten vorkommenden Potenz übernommen und anschließend werden alle Faktoren multipliziert. Bei 1/(x+2) und 1/(x-3) ist der Hauptnenner (x+2)(x-3).

Was sind Definitionslücken bei Bruchgleichungen?

Definitionslücken sind Variablenwerte, für die mindestens ein Nenner null und der Term damit undefiniert wird. Bei 5/(x-3) ist x=3 ausgeschlossen. Jede gefundene Lösung muss gegen diese Werte geprüft werden.

Was ist eine Scheinlösung?

Eine Scheinlösung erfüllt die umgeformte Gleichung, aber nicht die ursprüngliche Bruchgleichung. Häufig ist sie eine Definitionslücke. Deshalb wird jeder Kandidat in die Ausgangsgleichung eingesetzt.

Wie verwendet man Bruchgleichungen bei Arbeitsraten?

Arbeitsraten nutzen 1/a + 1/b = 1/t. Dabei sind a und b die Einzelzeiten und t die gemeinsame Zeit. Mit dem Hauptnenner abt werden die Brüche beseitigt und die gesuchte Zeit berechnet.

Was ist Kreuzmultiplikation und wann ist sie anwendbar?

Bei a/b = c/d liefert Kreuzmultiplikation ad = bc. Sie ist nur anwendbar, wenn auf jeder Seite genau ein Bruch steht. Bei Summen oder Differenzen wird der vollständige Hauptnenner verwendet.

Kann eine Bruchgleichung keine Lösung haben?

Ja. Sind alle Kandidaten Definitionslücken und damit Scheinlösungen, besitzt die Bruchgleichung in ihrem Definitionsbereich keine Lösung.

Was geschieht, wenn nach dem Beseitigen der Nenner eine quadratische Gleichung entsteht?

Nach der Multiplikation mit dem Hauptnenner kann eine quadratische Gleichung entstehen. Sie wird durch Faktorisieren oder mit der Lösungsformel gelöst; danach wird jeder Kandidat auf Definitionslücken geprüft.

Bruchgleichungen lösen – Rechner mit Rechenweg

Gleichungstyp wählen

Form: a / (b·x + c) = d

a (Zähler)

b (Koeffizient von x)

c (Konstante)

d (rechte Seite)

So verwendest du den Rechner

1
Gleichungstyp wählen — Wähle die Registerkarte, die zur Struktur der Gleichung passt: einzelner Bruch, Bruch gleich Bruch, Summe, quadratisches Ergebnis oder Arbeitsrate.
2
Koeffizienten eingeben — Fülle jedes Feld entsprechend der angegebenen Form aus. Dezimalzahlen und negative Werte sind zulässig; über „Beispiel laden“ werden Musterwerte eingesetzt.
3
Auf „Lösen“ klicken — Der Rechner bestimmt den Hauptnenner, beseitigt alle Brüche, multipliziert aus und löst Schritt für Schritt.
4
Definitionslücken prüfen — Werte, die einen Nenner null machen, werden vor dem Lösen gekennzeichnet.
5
Probe kontrollieren — Jeder Kandidat wird automatisch in die Ausgangsgleichung eingesetzt und auf Scheinlösungen geprüft.

Was sind Bruchgleichungen?

Eine Bruchgleichung enthält mindestens einen rationalen Term, also einen Bruch mit einer Variablen im Zähler oder Nenner. Beispiele sind 3/(x+2) = 5, 1/x + 2/(x-1) = 3, sowie die klassische Arbeitsratenformel 1/a + 1/b = 1/t. Steht die Unbekannte im Nenner, ist der Term für bestimmte Werte nicht definiert.

Bruchgleichungen treten in Wissenschaft und Alltag auf: bei gemeinsamen Arbeitsgeschwindigkeiten, parallel arbeitenden Rohren, Mischungsverhältnissen und elektrischen Parallelschaltungen. Ihre Lösung verbindet Bruchrechnung mit Polynomrechnung und erweitert das algebraische Verständnis.

Der Rechner unterstützt fünf typische Formen, zeigt jede Umformung, ermittelt Definitionslücken vor der Rechnung und erkennt Scheinlösungen automatisch.

Die Hauptnenner-Methode

Die systematische Lösung verwendet den Hauptnenner. Jeder Term auf beiden Seiten wird damit multipliziert, sodass alle Brüche verschwinden. Übrig bleibt eine lineare oder quadratische Polynomgleichung. Der Hauptnenner enthält jeden unterschiedlichen Nennerfaktor in seiner höchsten vorkommenden Potenz.

Definitionslücken und Scheinlösungen

Ein entscheidender Schritt ist das Bestimmen der Definitionslücken, also der Werte, die einen Nenner null machen. Nach dem Lösen wird jeder Kandidat geprüft. Entspricht er einer Definitionslücke, ist er eine Scheinlösung und wird verworfen.

Formelübersicht

Kreuzmultiplikation

a/b = c/d → ad = bc

Nur anwendbar, wenn auf jeder Seite genau ein Bruch ohne Summe steht.

Hauptnenner-Methode

Alle Terme mit dem Hauptnenner multiplizieren

Bei Summen, Differenzen oder mehreren Bruchtermen verwenden.

Arbeitsratenformel

1/a + 1/b = 1/t

Die gemeinsame Rate ist die Summe der Einzelraten: t = ab/(a+b).

Quadratische Lösungsformel

x = (-b ± √(b²‑4ac)) / 2a

Wird verwendet, wenn nach dem Beseitigen der Brüche ein Polynom zweiten Grades entsteht.

Rechenbeispiel 1 – Ein Bruch gleich einer Zahl

Aufgabe: Löse 6 / (2x − 4) = 3

Definitionslücken: Nenner gleich null setzen: 2x − 4 = 0 → x = 2. Definitionsbedingung: x ≠ 2.
Hauptnenner = (2x − 4). Beide Seiten multiplizieren: 6 = 3(2x − 4)
Ausmultiplizieren: 6 = 6x − 12
Lösen: 6x = 18 → x = 3
Probe: x = 3 ≠ 2, damit ist der Wert nicht ausgeschlossen. Einsetzen: 6/(2·3−4) = 6/2 = 3 ✓ Gültige Lösung.

Rechenbeispiel 2 – Summe von Brüchen gleich einer Zahl

Aufgabe: Löse 2/(x+3) + 3/(x−2) = 2

Definitionslücken: x ≠ −3 und x ≠ 2
Hauptnenner = (x+3)(x−2). Jeden Term mit dem Hauptnenner multiplizieren.
Linke Seite ausmultiplizieren: 2(x−2) + 3(x+3) = 2x−4 + 3x+9 = 5x+5
Rechte Seite ausmultiplizieren: 2(x+3)(x−2) = 2(x²+x−6) = 2x²+2x−12
Umstellen: 2x²+2x−12 − 5x−5 = 0 → 2x²−3x−17 = 0
Quadratische Lösungsformel liefert zwei Kandidaten; beide gegen die Definitionslücken prüfen x ≠ −3, x ≠ 2.

Bruchgleichungen-Rechner