Rechner für rationale Ausdrücke
Vereinfachen · Addieren · Subtrahieren · Multiplizieren · Dividieren · Auswerten · Definitionsausschlüsse
Gib Zähler- und Nennerpolynome in Standardschreibweise ein (z. B. x^2-4, x+2). Du erhältst Faktorisierung, Kürzung und das vereinfachte Ergebnis mit vollständigem Rechenweg.
Rationalen Ausdruck vereinfachen
Faktorisieren & kürzenSchnellbeispiele
Hinweise zur Eingabeschreibweise
2x^2+3x-5 → 2x² + 3x − 5
x^2-9 → x² − 9 (Differenz zweier Quadrate)
x^3-1 → x³ − 1 (Differenz zweier Kuben)
4 → konstantes Polynom
x → lineares Monom
-x+1 → −x + 1 (negatives Vorzeichen am Anfang zulässig)
Was sind rationale Ausdrücke?
Ein rationaler Ausdruck ist ein algebraischer Bruch der Form P(x)/Q(x), wobei P und Q Polynome sind und Q nicht das Nullpolynom ist. Rationale Ausdrücke sind das polynomiale Gegenstück zu gewöhnlichen Zahlenbrüchen: Man kann sie nach denselben Regeln addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und vereinfachen.
Rationale Ausdrücke begegnen dir überall in Algebra und Analysis, etwa in der Steigungsformel, der Partialbruchzerlegung und bei der Untersuchung von Asymptoten. Das sichere Vereinfachen und Rechnen mit Bruchtermen ist daher eine wichtige Grundlage für Algebra, Analysis und technische Mathematik.
Da der Nenner Q(x) niemals null sein darf, besitzen rationale Ausdrücke stets Definitionsausschlüsse – also x-Werte, die ausgeschlossen werden müssen. Beispielsweise ist (x+1)/(x-3) für x = 3 nicht definiert; die Definitionsmenge enthält daher alle reellen Zahlen außer 3. Diese Einschränkungen gehören zu jeder vollständigen Lösung eines Bruchterms.
Rationale Ausdrücke vereinfachen
Beim Vereinfachen wird ein Bruchterm vollständig gekürzt, indem gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner entfernt werden:
- Schritt 1 – Zähler faktorisieren vollständig, etwa mit größtem gemeinsamen Faktor, binomischen Formeln, quadratischer Lösungsformel oder Gruppieren.
- Schritt 2 – Nenner faktorisieren vollständig mit denselben Verfahren.
- Schritt 3 – gemeinsame Faktoren kürzen die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen.
- Schritt 4 – Definitionsausschlüsse angeben die sich aus dem ursprünglichen Nenner ergeben, einschließlich später gekürzter Faktoren.
Rechenbeispiel – (x²-9)/(x+3) vereinfachen:
Zähler: x²-9 = (x-3)(x+3). Nenner: (x+3). Nach dem Kürzen von (x+3) lautet das Ergebnis (x-3), mit dem Definitionsausschluss x ≠ -3.
Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren
Zum Addieren oder Subtrahieren rationaler Ausdrücke wird wie bei gewöhnlichen Brüchen ein gemeinsamer Nenner benötigt:
- Faktorisiere jeden Nenner, um den Hauptnenner (kleinstes gemeinsames Vielfaches der Nenner).
- Erweitere jeden Bruch im Zähler und Nenner mit den fehlenden Faktoren.
- Fasse die Zähler über dem gemeinsamen Hauptnenner zusammen.
- Vereinfache das Ergebnis, falls möglich.
Rechenbeispiel – 2/x + 3/(x+1) addieren:
Hauptnenner = x(x+1). Erweitert: 2(x+1)/[x(x+1)] + 3x/[x(x+1)] = (2x+2+3x)/[x(x+1)] = (5x+2)/[x(x+1)], mit x ≠ 0 und x ≠ -1.
Rationale Ausdrücke multiplizieren und dividieren
Multiplikation: Multipliziere die Zähler miteinander und ebenso die Nenner. Faktorisiere jedoch zuerst und kürze gemeinsame Faktoren über Kreuz. Beispiel: (x²-1)/(x+3) × (x+3)/(x-1) = (x-1)(x+1)(x+3) / [(x+3)(x-1)] = (x+1), mit x ≠ ±1 und x ≠ -3.
Division: Multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten und gehe anschließend wie bei der Multiplikation vor. Der Zähler des ursprünglichen Divisors wird dabei zum Nenner und kann zusätzliche Definitionsausschlüsse erzeugen.
Definitionsausschlüsse verständlich erklärt
Die Definitionsmenge eines rationalen Ausdrucks umfasst alle x-Werte, für die der Ausdruck definiert ist. Jeder Wert, der einen Nenner null werden lässt, muss ausgeschlossen werden – selbst wenn der betreffende Faktor später gekürzt wird, denn der ursprüngliche Ausdruck war dort nicht definiert.
Setze zur Bestimmung der Ausschlüsse jeden Nenner gleich null und löse die Gleichung. Gib jede Lösung als ausgeschlossenen Wert in der Schreibweise „x ≠ …“ an.