Wurzelrechner zum Vereinfachen
Quadratwurzeln · Kubikwurzeln · n-te Wurzeln · Nenner rationalisieren · Wurzelterme
Gib eine positive ganze Zahl ein, um den größten quadratischen Faktor aus der Wurzel zu ziehen.
Vereinfache eine n-te Wurzel, indem du die größte vollständige n-te Potenz ausklammerst. Beispiel: ∛54 → 3∛2
Berechne Wurzelterme der Form a√b ± c√d (addieren/subtrahieren) oder a√b × c√d (multiplizieren) oder a√b ÷ c√d (dividieren).
Rationalisiere den Nenner eines Bruchs. Wähle zwischen einem einteiligen Nenner (p / (c√d)) oder einem zweiteiligen Nenner (p / (a√b ± c√d)).
Ausdruck: p / (c√d)
Ausdruck: p / (a√b ± c√d)
Wandle zwischen Wurzel- und gebrochener Potenzschreibweise um. Beispiel: ∛x² = x^(2/3).
Ausdruck: ⁿ√(x^m) = x^(m/n)
Ausdruck: x^(m/n) = ⁿ√(x^m)
Was sind Wurzeln und warum werden sie vereinfacht?
Ein Wurzelausdruck enthält meist eine Quadratwurzel (√), Kubikwurzel (∛) oder n-te Wurzel. Die Zahl unter dem Zeichen heißt Radikand, die kleine Zahl am Wurzelzeichen Wurzelexponent. Bei der Quadratwurzel ist der Exponent 2 und wird üblicherweise nicht geschrieben.
Beim Vereinfachen wird der Wurzelausdruck so umgeformt, dass der Radikand keine vollständigen Potenzfaktoren mehr enthält. In √72 steckt beispielsweise der quadratische Faktor 36, daher gilt √(36 × 2) = 6√2.
Vereinfachte Wurzeln werden beim Lösen quadratischer Gleichungen, beim Satz des Pythagoras, in trigonometrischen Termen, bei Brüchen in der Analysis und beim Rechnen mit irrationalen Zahlen benötigt. Auch technische Formeln werden dadurch übersichtlicher, und gleichartige Wurzeln lassen sich wie gleichartige algebraische Terme zusammenfassen.
So verwendest du den Wurzelrechner
- Wähle einen Modus über die Registerkarten: √n vereinfachen, n-te Wurzel, Wurzelterme, Rationalisieren oder Wurzel ↔ Potenz.
- Trage die Werte in die Eingabefelder ein. Für Wurzelzerlegungen werden ganze Zahlen benötigt; Dezimalwerte werden bei Bedarf gerundet.
- Klicke auf die passende Aktion oder lade über eine Beispieltaste Werte vor.
- Lies den Rechenweg unterhalb der Eingaben. Jeder Schritt ist nummeriert und nennt die verwendete Regel.
- Das Endergebnis und eine Dezimalnäherung werden in der Ergebniskarte hervorgehoben.
Wichtige Regeln zum Vereinfachen
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Produktregel | √(ab) = √a × √b | √12 = √4 × √3 = 2√3 |
| Quotientenregel | √(a/b) = √a / √b | √(9/4) = 3/2 |
| Quadratischer Faktor | √(k²·m) = k√m | √72 = √(36·2) = 6√2 |
| Produkt n-ter Wurzeln | ⁿ√(ab) = ⁿ√a × ⁿ√b | ∛54 = ∛(27·2) = 3∛2 |
| Wurzelexponent | ⁿ√(xᵐ) = x^(m/n) | ∛x² = x^(2/3) |
| Gleichartige Wurzeln addieren | a√k + b√k = (a+b)√k | 3√5 + 7√5 = 10√5 |
| Wurzeln multiplizieren | a√b × c√d = ac√(bd) | 2√3 × 4√3 = 8×3 = 24 |
| Rationalisieren (einteilig) | p/√d = p√d/d | 1/√2 = √2/2 |
| Rationalisieren (zweiteilig) | p/(√a+√b) = p(√a−√b)/(a−b) | 1/(√3+√2) = √3−√2 |
Rechenbeispiele
Beispiel 1 – √72 vereinfachen
Bestimme die größte Quadratzahl, die 72 teilt. Die Teiler sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 und 72; die größte enthaltene Quadratzahl ist 36.
√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2
Dezimalnäherung: 6 × 1.41421… ≈ 8.48528
Beispiel 2 – ∛54 vereinfachen
Bestimme die größte Kubikzahl, die 54 teilt. Unter den Teilern 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 und 54 ist der größte kubische Faktor: 27.
∛54 = ∛(27 × 2) = ∛27 × ∛2 = 3∛2
Dezimalnäherung: 3 × 1.25992… ≈ 3.77976
Beispiel 3 – 2√3 + 5√3 addieren
Beide Terme haben denselben Radikanden 3 und Wurzelexponenten 2. Sie sind gleichartige Wurzeln und ihre Koeffizienten können addiert werden:
2√3 + 5√3 = (2 + 5)√3 = 7√3
Beispiel 4 – 1/√5 rationalisieren
Multipliziere Zähler und Nenner mit √5:
1/√5 × (√5/√5) = √5 / (√5 × √5) = √5 / 5 = √5/5
Der Nenner ist nun rational und enthält kein Wurzelzeichen. Dezimal: ≈ 0.44721
Häufig gestellte Fragen
Warum vereinfacht man Wurzeln?
Was bedeutet das Rationalisieren des Nenners?
1/√5 werden Zähler und Nenner mit √5 multipliziert. Bei einem zweiteiligen Nenner wie 1/(√3+√2) verwendet man den konjugierten Ausdruck (√3−√2), sodass die Differenz zweier Quadrate beide Wurzeln im Nenner beseitigt.