Calculatrice d’équation du second degré

Résolvez ax² + bx + c = 0 pour obtenir les racines, le discriminant, les étapes et un graphique interactif de la parabole.

x² +
x +
= 0
Exemples :

Qu’est-ce qu’une équation du second degré ?

A équation du second degré est un polynôme de degré deux de la forme ax² + bx + c = 0, où a ≠ 0. Les solutions, également appelées racines or zéros, sont les valeurs de x où la parabole coupe l’axe des abscisses.

Δ > 0
Deux racines réelles
La parabole coupe l’axe des abscisses en deux points distincts.
Δ = 0
Une racine double
La parabole touche l’axe des abscisses en un seul point, son sommet.
Δ < 0
Racines complexes
La parabole ne coupe pas l’axe des abscisses. Les racines sont des nombres complexes conjugués.

Formule quadratique

x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)
où Δ = b²−4ac est le discriminant

Propriétés essentielles

▸Sommet : (−b/2a, f(−b/2a)) — point minimum ou maximum.
▸Axe de symétrie : droite verticale x = −b/2a.
▸Ordonnée à l’origine : point (0, c).
▸Somme des racines : x₁ + x₂ = −b/a (formules de Viète).
▸Produit des racines : x₁ × x₂ = c/a (formules de Viète).
▸Orientation : opens upward if a > 0, vers le bas si a < 0.

Exemples résolus — équations du second degré

Entraînez-vous avec ces exemples détaillés couvrant les trois cas : deux racines réelles distinctes, une racine double, et racines complexes (imaginaires). Cliquez sur Essayer pour charger un exemple dans la calculatrice et afficher immédiatement la solution, le graphique et les propriétés.

Deux racines réelles distinctes (Δ > 0)

x² − 5x + 6 = 0
a=1, b=−5, c=6
Factorisable
Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
Racines : x₁ = 3, x₂ = 2
Factorisation : (x−2)(x−3) = 0
x² − 4 = 0
a=1, b=0, c=−4
Différence de deux carrés
Δ = 0 − 4(1)(−4) = 16
Racines : x₁ = 2, x₂ = −2
Factorisation : (x−2)(x+2) = 0
2x² + 3x − 2 = 0
a=2, b=3, c=−2
Non unitaire
Δ = 9 − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25
Racines : x₁ = 0,5, x₂ = −2
Factorisation : (2x−1)(x+2) = 0
3x² − 7x + 2 = 0
a=3, b=−7, c=2
Racines rationnelles
Δ = 49 − 4(3)(2) = 49 − 24 = 25
Racines : x₁ = 2, x₂ = 1/3
Factorisation : (x−2)(3x−1) = 0

Une racine double (Δ = 0)

x² − 2x + 1 = 0
a=1, b=−2, c=1
Carré parfait
Δ = 4 − 4(1)(1) = 0
Racine : x = 1 (double)
Factorisation : (x−1)² = 0
x² + 4x + 4 = 0
a=1, b=4, c=4
Carré parfait
Δ = 16 − 4(1)(4) = 0
Racine : x = −2 (double)
Factorisation : (x+2)² = 0; vertex at (−2, 0)

Racines complexes (imaginaires) (Δ < 0)

x² + x + 1 = 0
a=1, b=1, c=1
Racines complexes
Δ = 1 − 4(1)(1) = −3
Racines : −0,5 ± 0,866i
Aucune solution réelle ; la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses
x² + 2x + 5 = 0
a=1, b=2, c=5
Paire conjuguée
Δ = 4 − 4(1)(5) = −16
Racines : −1 ± 2i
Racines complexes conjuguées ; ouverture vers le haut, minimum en (−1, 4)

Application concrète

Problème de mouvement d’un projectile

Une balle est lancée verticalement depuis le sol à une vitesse initiale de 20 m/s. Sa hauteur h en mètres après t secondes est donnée par h(t) = −5t² + 20t. Posons h = 0 pour déterminer l’instant où la balle retombe : −5t² + 20t = 0, soit 5t² − 20t = 0.

Équation : 5t² − 20t + 0 = 0 (a=5, b=−20, c=0)
Δ = 400 − 0 = 400
Racines : t = 0 s (lancement) et t = 4 s (retombée)
Hauteur maximale
20 m
à t = 2 s
Retombe à
4 s

Questions fréquentes

Qu’est-ce que le discriminant et pourquoi est-il important ?

Le discriminant Δ = b²−4ac indique le nombre de solutions réelles sans résoudre entièrement l’équation. Si Δ > 0, il existe deux racines réelles distinctes ; si Δ = 0, une racine réelle double ; si Δ < 0, deux racines complexes conjuguées.

Que se passe-t-il si a = 0 ?

Lorsque a = 0, l’équation devient linéaire, bx + c = 0, et se résout différemment. Une équation du second degré exige précisément que a ≠ 0.

À quoi servent les formules de Viète ?

Les formules de Viète relient les coefficients aux racines sans résoudre l’équation. Pour ax² + bx + c = 0, la somme vaut x₁ + x₂ = −b/a et le produit x₁ × x₂ = c/a. Elles permettent de vérifier une réponse ou de retrouver une équation à partir de racines connues.

Que sont les racines complexes ?

Lorsque Δ < 0, le calcul implique la racine carrée d’un nombre négatif. Les solutions s’écrivent p ± qi, où i = √(−1) est l’unité imaginaire. Elles forment toujours une paire conjuguée et ne correspondent à aucun point de la droite réelle.

Puis-je utiliser des coefficients décimaux ou fractionnaires ?

Oui, la calculatrice accepte tout coefficient réel, y compris les nombres décimaux. Pour une fraction, convertissez-la d’abord en nombre décimal, par exemple ½ = 0,5.

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