Calculatrice PGCD et PPCM

Trouvez le plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple de 2 à 6 nombres avec toutes les étapes et deux méthodes.

Saisissez de 2 à 6 entiers positifs Résultats optimaux jusqu’à 10 000
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Exemples :

Que sont le PGCD et le PPCM ?

HCF
plus grand commun diviseur
Aussi appelé plus grand diviseur commun

Le plus grand nombre qui divise exactement tous les nombres donnés, sans reste.

HCF(12, 18) = 6
LCM
plus petit commun multiple
Plus petit multiple commun

Le plus petit nombre qui est un multiple de tous les nombres donnés.

LCM(12, 18) = 36

La relation fondamentale pour deux nombres

HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b
Exemple : PGCD(12,18) × PPCM(12,18) = 6 × 36 = 12 × 18 = 216 ✓

H Calcul du PGCD — décomposition en facteurs premiers

1.Écrivez chaque nombre comme produit de facteurs premiers.
2.Repérez les facteurs premiers présents dans TOUS les nombres.
3.Prenez la plus petite puissance de chaque facteur premier commun.
4.Multipliez-les pour obtenir le PGCD.

L Calcul du PPCM — décomposition en facteurs premiers

1.Écrivez chaque nombre comme produit de facteurs premiers.
2.Rassemblez TOUS les facteurs premiers présents.
3.Prenez la plus grande puissance de chaque facteur premier.
4.Multipliez-les pour obtenir le PPCM.

Exemples détaillés

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Débutant — deux nombres

HCF(12, 18) & LCM(12, 18)
Partager un ruban en morceaux égaux
Classique
12 = 2² × 3  |  18 = 2 × 3²
HCF = 2 × 3 = 6  (plus petite puissances of 2,3)
LCM = 2² × 3² = 36  (plus grande puissances)
HCF(16, 24) & LCM(16, 24)
Nombres avec puissances de 2
Puissances de 2
16 = 2⁴  |  24 = 2³ × 3
HCF = 2³ = 8
LCM = 2⁴ × 3 = 48
HCF(100, 150)
Partager une somme équitablement
Argent
100 = 2² × 5²  |  150 = 2 × 3 × 5²
HCF = 2 × 5² = 50
100 ₹ et 150 ₹ peuvent être partagés en coupures de 50 ₹
HCF(7, 11)
Deux nombres premiers
Premiers entre eux
7 et 11 sont deux nombres premiers
HCF = 1 (ils n’ont aucun diviseur commun)
LCM = 7 × 11 = 77

Intermédiaire — trois nombres

HCF(15, 25, 35)
Trois multiples de 5
3 nombres
15 = 3×5  |  25 = 5²  |  35 = 5×7
HCF = 5 (seul 5 est commun aux trois nombres)
LCM = 3 × 5² × 7 = 525
LCM(3, 4, 6)
Trois cloches : quand sonnent-elles ensemble ?
Cloches
Les cloches sonnent toutes les 3, 4 et 6 minutes
3 = 3  |  4 = 2²  |  6 = 2 × 3
LCM = 2² × 3 = 12
Les trois cloches sonnent ensemble après 12 minutes.

Applications concrètes

Problème d’horaires de bus

Le bus A part toutes les 6 minutes et le bus B toutes les 8 minutes. Ils partent ensemble à 8 h. À quelle heure repartiront-ils ensemble ?

LCM(6, 8) = ?   6 = 2 × 3  |  8 = 2³
LCM = 2³ × 3 = 24 minutes
Prochain départ commun : 8 h 24
Problème de carrelage

Un sol rectangulaire mesure 60 cm × 90 cm. Quel est le plus grand carreau carré utilisable sans découpe ?

60 = 2² × 3 × 5  |  90 = 2 × 3² × 5
HCF(60, 90) = 2 × 3 × 5 = 30 cm
Utiliser des carreaux de 30 × 30 cm : 2 × 3 = 6 carreaux nécessaires

Questions fréquentes

Qu’est-ce que le PGCD ?

Le plus grand commun diviseur est le plus grand entier qui divise exactement tous les nombres donnés. Par exemple, le PGCD de 12 et 18 vaut 6.

Qu’est-ce que le PPCM ?

Le plus petit commun multiple est le plus petit entier positif divisible par tous les nombres donnés. Le PPCM de 4 et 6 vaut 12.

Quelle relation existe entre PGCD et PPCM ?

Pour deux entiers positifs a et b, PGCD(a,b) × PPCM(a,b) = a × b. Cette identité permet de retrouver une valeur lorsqu’on connaît les trois autres.

Que sont des nombres premiers entre eux ?

Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1. Leur PPCM est alors égal à leur produit.

Comment l’algorithme d’Euclide calcule-t-il le PGCD ?

Il divise successivement le plus grand nombre par le plus petit et remplace les nombres par le diviseur et le reste. Le dernier reste non nul est le PGCD.

Peut-on calculer le PGCD et le PPCM de plus de deux nombres ?

Oui. Cette calculatrice accepte de 2 à 6 nombres et applique les opérations successivement ou compare les exposants de leurs facteurs premiers.

Quand le PGCD est-il égal à l’un des nombres ?

Le PGCD est égal au plus petit nombre lorsque celui-ci divise exactement tous les autres. Dans le cas de deux nombres, le PPCM est alors le plus grand.

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