Pendeldauer Rechner – T = 2π√(L/g) | Fadenpendel

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Länge L

Periode T

s

Frequenz f

Hz

Schwerkraft g

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Das Fadenpendel Erklärt

Ein Fadenpendel (mathematisches Pendel) besteht aus einem masselosen, undehnbaren Faden der Länge L, der an einem festen Drehpunkt befestigt ist, mit einer Punktmasse am anderen Ende. Wird es aus der Ruhelage ausgelenkt und losgelassen, führt es eine harmonische Schwingung aus — vorausgesetzt, der Winkel ist klein.

Seine bemerkenswerteste Eigenschaft: Die Periode ist unabhängig von Masse und Amplitude (bei kleinen Winkeln). Dies wurde zuerst von Galileo (~1602) bemerkt, als er das Schwingen eines Kronleuchters im Dom zu Pisa beobachtete.

T = 2π√(L/g)

Formel für kleine Winkel

f = 1/T

Frequenz in Hz

ω = √(g/L)

Kreisfrequenz

Herleitung von T = 2π√(L/g)

Bei kleinen Winkeln ist die rückstellende Kraft ungefähr F ≈ −mg·θ (wobei θ im Bogenmaß vorliegt). Wendet man das zweite Newtonsche Gesetz für Rotationsbewegungen an und nutzt die Kleinwinkelnäherung sin(θ) ≈ θ, erhält man:

d²θ/dt² = −(g/L)·θ

Dies ist eine harmonische Schwingung mit ω² = g/L → ω = √(g/L)

T = 2π/ω = 2π√(L/g)

Die Herleitung zeigt, dass weder die Masse m noch die Amplitude θ in der Endformel auftauchen — nur die Fadenlänge L und die Erdbeschleunigung g sind relevant.

Kleine vs. große Winkel

Für Winkel über ~15° unterschätzt die einfache Formel die wahre Periode. Die Korrektur erster Ordnung (Lindstedt-Serie) lautet:

T_corr = T₀ · (1 + θ²_rad/16 + 11·θ⁴_rad/3072 + ...)

Amplitude θ	Periodenfehler im Vergleich zur einfachen Formel
5°	+0,05%
15°	+0,43%
30°	+1,73%
45°	+3,99%
90°	+18,0%

Physikalisches Pendel

Ein physikalisches Pendel ist ein beliebiger starrer Körper, der um einen Drehpunkt schwingt. Im Gegensatz zum Fadenpendel hängt seine Periode von der Massenverteilung ab:

T = 2π · √(I / (m·g·d))

Wobei I das Trägheitsmoment bezüglich des Drehpunktes ist, m die Gesamtmasse und d der Abstand vom Drehpunkt zum Schwerpunkt. Beispiele: ein gleichmäßiger Stab, der an einem Ende aufgehängt ist, hat T = 2π√(2L/3g).

Referenztabelle Länge vs. Periode

Länge L	Periode T (Erde)	Frequenz f	Periode T (Mond)
0,1 m	0,635 s	1,575 Hz	1,562 s
0,25 m	1,003 s	0,997 Hz	2,470 s
0,5 m	1,418 s	0,705 Hz	3,492 s
1,0 m	2,006 s	0,499 Hz	4,939 s
2,5 m	3,170 s	0,315 Hz	7,804 s
5,0 m	4,483 s	0,223 Hz	11,035 s
10,0 m	6,342 s	0,158 Hz	15,607 s

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1 — Standuhr (L=1m)

Gegeben: L = 1m, g = 9,81

T = 2π√(1/9,81) = 2,006 s

f = 1/2,006 = 0,499 Hz

Beispiel 2 — L für 1s Tick finden (T=2s)

Gegeben: T = 2s, g = 9,81

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,3183)²

L = 0,993 m

Beispiel 3 — Mondpendel 1m

Gegeben: L = 1m, g = 1,62

T = 2π√(1/1,62) = 4,939 s

f = 0,202 Hz

Beispiel 4 — Foucaultsche Pendel (L=67m)

Gegeben: L = 67m, g = 9,81

T = 2π√(67/9,81) = 16,42 s

f = 0,0609 Hz

Häufig gestellte Fragen

Ein Fadenpendel (mathematisches Pendel) ist ein idealisiertes Modell, das aus einem masselosen Faden der Länge L mit einer Punktmasse am Ende besteht, die unter Einfluss der Schwerkraft ohne Reibung schwingt. Für kleine Winkel (unter ~15°) beträgt seine Periode T = 2π√(L/g), unabhängig von der Masse und annähernd unabhängig von der Amplitude.

Nein. Die Formel für die Periode T = 2π√(L/g) enthält keinen Masseterm. Ein schweres und ein leichtes Pendel an einem gleich langen Faden schwingen mit exakt derselben Periode. Dies war eine der wichtigsten Entdeckungen von Galileo Galilei um 1602.

Die einfache Formel T = 2π√(L/g) nimmt an, dass sin(θ) ≈ θ (in Radian) ist, was für Winkel unter etwa 15° gut zutrifft. Bei größeren Winkeln ist die tatsächliche Periode länger. Bei 30° beträgt der Fehler ~1,7%; bei 90° sind es ~18%. Verwenden Sie die Korrektur für große Amplituden im erweiterten Modus für präzise Ergebnisse.

Ein Sekundenpendel hat eine Halbperiode von 1 Sekunde (volle Periode T = 2s). Umgestellt: L = g(T/2π)² = 9,81×(2/2π)² ≈ 0,9929 m ≈ 99,3 cm. Das ist der Grund, warum Standuhren so hoch sind — das Pendel ist fast 1 Meter lang.

Die Periode (Schwingungsdauer) T ist die Zeit für eine vollständige Schwingung (einmal hin und zurück), gemessen in Sekunden. Die Frequenz f ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde, gemessen in Hertz (Hz). Sie sind Kehrwerte voneinander: f = 1/T. Ein Pendel mit T = 2s hat f = 0,5 Hz.

Die Periode ist umgekehrt proportional zur Quadratwurzel von g: T ∝ 1/√g. Auf dem Mond (g = 1,62 m/s²) hat ein 1m langes Pendel eine Periode von T ≈ 4,94 s — etwa 2,46-mal länger als auf der Erde (T ≈ 2,01 s). Auf dem Jupiter (g = 24,79) hat dasselbe Pendel T ≈ 1,26 s.

Ein physikalisches Pendel ist ein starrer Körper, der um eine Achse schwingt, nicht nur eine Punktmasse an einem Faden. Seine Periode ist T = 2π√(I/(mgd)), wobei I das Trägheitsmoment um die Achse, m die Masse, g die Schwerkraft und d der Abstand vom Drehpunkt zum Schwerpunkt ist.

Das Foucaultsche Pendel (1851, 67 m lang, 28 kg Masse) demonstrierte die Erdrotation, indem es zeigte, dass sich die Schwingungsebene des Pendels im Laufe des Tages scheinbar dreht. Die Rotationsrate am Breitengrad λ ist ω = Ω·sin(λ), wobei Ω = 2π/24h. In Paris (48,9°N) dreht sich die Ebene um ~11,3°/Stunde.

Fadenpendel Perioden Rechner

Schritt-für-Schritt Lösung