Wurfparabel-Rechner

Calculate range, maximum height, time of flight, and full trajectory for any projectile. Supports multiple planets, unit conversions, and an interactive SVG chart.

Voreinstellungen:
Grad (0–90)
g = m/s²
Grad
m/s²

Wie der schiefe Wurf (Wurfparabel) funktioniert

Der schiefe Wurf beschreibt die zweidimensionale Bewegung eines Objekts, das unter dem alleinigen Einfluss der Schwerkraft in die Luft geschossen wird. Die wichtigste Erkenntnis ist, dass horizontale und vertikale Bewegungen unabhängig voneinander sind: Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant (ohne Luftwiderstand), während die Schwerkraft das Objekt kontinuierlich nach unten beschleunigt.

Die resultierende Bahn ist eine Parabel. Dies wurde zuerst im frühen 17. Jahrhundert von Galileo Galilei korrekt beschrieben und widerlegte Aristoteles' falsche Ansicht, dass Projektile in geraden Linien fliegen, bevor sie fallen.

vx = const
Horizontale Geschwindigkeit ändert sich nie (ohne Luftwiderstand)
ay = −g
Vertikale Beschleunigung ist konstant nach unten mit g m/s²
45°
Optimaler Abwurfwinkel für maximale Reichweite auf flachem Boden

Formeln für den schiefen Wurf

Geschwindigkeitskomponenten

vx = v₀ · cos(θ)

vy = v₀ · sin(θ)

Flugzeit (ebener Boden)

T = 2 · vy / g

Doppelte Zeit bis zum Scheitelpunkt

Reichweite

R = vx · T

= v₀² · sin(2θ) / g

Maximale Höhe

H = vy² / (2g)

Höhe über dem Abwurfpunkt

Flugzeit (mit Höhe h₀)

T = (vy + √(vy²+2gh₀)) / g

Aufprallgeschwindigkeit

v_f = √(vx² + vyf²)

vyf = vy − g·T

Reichweite vs. Winkel Referenztabelle

Für v₀ = 10 m/s auf der Erde (g = 9,81 m/s²)

Winkel (θ) Reichweite (m) Max. Höhe (m) Flugzeit (s)
15° 5.09 0.34 0.53
30° 8.83 1.27 1.02
45° (max. Reichweite) 10.19 2.55 1.44
60° 8.83 3.83 1.77
75° 5.09 4.76 1.97

Reale Anwendungen

⚽

Sport

Fußbälle, Basketbälle, Basebälle, Speere und Golfbälle folgen alle einer Wurfparabel. Die Optimierung des Abwurfwinkels maximiert die Distanz.

🚀

Militär & Ballistik

Artilleriegeschosse, Raketen und Flugkörper verwenden Projektilberechnungen, die an Luftwiderstand, Drall und Wind angepasst sind.

🌊

Springbrunnen

Ingenieure verwenden Wurf-Formeln, um den Bogen von Wasserstrahlen in Springbrunnen und Bewässerungssystemen zu entwerfen.

🎢

Freizeitparks

Wasserrutschen-Austrittswinkel, Achterbahn-Starts und Stunt-Show-Sprünge werden nach den Prinzipien des schiefen Wurfs berechnet.

Rechenbeispiele

Beispiel 1 — Fußballschuss (v₀ = 25 m/s, θ = 45°, Erde)

vx = 25 × cos(45°) = 17.68 m/s
vy = 25 × sin(45°) = 17.68 m/s
T = 2 × 17.68 / 9.81 = 3.60 s
R = 17.68 × 3.60 = 63.7 m
H = 17.68² / (2 × 9.81) = 15.9 m

Beispiel 2 — Kanone auf einer Klippe (v₀ = 100 m/s, θ = 30°, h₀ = 50 m)

vx = 100 × cos(30°) = 86.60 m/s
vy = 100 × sin(30°) = 50.00 m/s
T = (50 + √(2500 + 2×9.81×50)) / 9.81 = 11.01 s
R = 86.60 × 11.01 = 953 m
H = 50²/(2×9.81) + 50 = 177.6 m

Beispiel 3 — Gleicher Wurf auf dem Mond (v₀ = 25 m/s, θ = 45°, g = 1.62 m/s²)

T = 2 × 17.68 / 1.62 = 21.83 s
R = 17.68 × 21.83 = 385.9 m
H = 17.68² / (2 × 1.62) = 96.5 m
About 6× farther than on Erde!

Beispiel 4 — Golfabschlag (v₀ = 70 m/s, θ = 12°, Erde)

vx = 70 × cos(12°) = 68.49 m/s
vy = 70 × sin(12°) = 14.56 m/s
T = 2 × 14.56 / 9.81 = 2.97 s
R = 68.49 × 2.97 = 203 m
H = 14.56² / (2 × 9.81) = 10.8 m

Häufig gestellte Fragen

Der schiefe Wurf ist die gekrümmte Bahn, der ein Objekt folgt, das allein unter dem Einfluss der Schwerkraft (ohne Luftwiderstand) in die Luft geschossen wird. Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant, während sich die vertikale Geschwindigkeit aufgrund der Erdbeschleunigung ändert. Beispiele sind geworfene Bälle, gestartete Raketen und springende Athleten.
Auf einer ebenen Fläche (Abwurf und Landung auf gleicher Höhe) ergibt ein Abwurfwinkel von 45° die maximale Reichweite. Das liegt daran, dass die Reichweite R = v₀² × sin(2θ) / g ist und sin(2θ) maximal ist, wenn 2θ = 90°, d.h. θ = 45°.
Luftwiderstand (Strömungswiderstand) verringert die Reichweite und senkt den optimalen Abwurfwinkel auf unter 45°. In realen Anwendungen wie beim Golf oder Speerwurf führen aerodynamische Effekte dazu, dass der tatsächliche optimale Winkel typischerweise bei 30–40° liegt. Dieser Rechner verwendet das ideale Modell ohne Luftwiderstand.
Beim Abwurf aus der Höhe h₀ beträgt die Flugzeit T = (vy + √(vy² + 2·g·h₀)) / g, wobei vy = v₀·sin(θ) und g die Erdbeschleunigung ist. Verwenden Sie die Registerkarte „Erweitert“ in diesem Rechner, um eine Anfangshöhe einzubeziehen.
Wenn der Landepunkt tiefer als der Abwurfpunkt liegt, geben Sie in der Registerkarte „Erweitert“ eine positive Anfangshöhe h₀ ein. Der Rechner berechnet die gesamte Flugzeit mithilfe der quadratischen Gleichung, was zu einer größeren Reichweite als bei einem ebenerdigen Abwurf führt.
Die Reichweite (R) ist die horizontale Entfernung vom Abwurf bis zur Landung. Die maximale Höhe (H) ist der höchste vertikale Punkt über dem Abwurfniveau. Die Reichweite hängt von Geschwindigkeit und Winkel ab, während die maximale Höhe hauptsächlich von der vertikalen Geschwindigkeitskomponente abhängt: H = vy² / (2g).
Eine stärkere Schwerkraft verkürzt die Reichweite und Flugzeit. Auf dem Mond fliegt der gleiche Wurf etwa sechsmal so weit wie auf der Erde.
Da die Reichweite R = v₀² × sin(2θ) / g ist und sin(2×30°) = sin(60°) = sin(120°) = sin(2×60°) ist. Komplementärwinkel (die sich zu 90° addieren) erzeugen auf ebenem Boden immer identische Reichweiten. 60° erreicht jedoch einen höheren Scheitelpunkt, während 30° eine flachere Flugbahn hat.

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