Wie lautet die Formel für die Oberfläche eines Quaders?

Die Oberfläche eines Quaders ist SA = 2(lb + lh + bh), wobei l die Länge, b die Breite und h die Höhe ist. Diese Formel summiert die Flächen aller sechs rechteckigen Seiten: zwei oben/unten (lb), zwei vorne/hinten (lh) und zwei links/rechts (bh).

Wie viele Seitenflächen hat ein Quader?

Ein Quader hat 6 Seitenflächen, die in 3 Paaren von identischen Rechtecken angeordnet sind. Außerdem hat er 12 Kanten und 8 Ecken, was der Eulerschen Formel entspricht: 6 + 8 - 12 = 2.

Was ist die Mantelfläche eines Quaders?

Die Mantelfläche umfasst nur die vier vertikalen Seiten (nicht oben und unten). Sie entspricht 2h(l + b), was dem Umfang der Grundfläche (2l + 2b) multipliziert mit der Höhe entspricht. Dies ist nützlich, wenn man die benötigte Farbe für die Wände eines Raumes berechnet.

Was ist die Raumdiagonale eines Quaders?

Die Raumdiagonale ist die längste Linie durch das Innere, von einer Ecke zur schräg gegenüberliegenden Ecke. Sie entspricht √(l² + b² + h²), unter Verwendung des 3D-Pythagoras. Für eine 3×4×5-Schachtel: Diagonale = √(9+16+25) = √50 ≈ 7,071.

Quader-Oberflächen-Rechner

Geben Sie Länge, Breite und Höhe ein, um alle Seitenflächen, die Gesamtoberfläche, das Volumen und die Raumdiagonale zu berechnen.

Länge (l)

Breite (b)

Höhe (h)

Beispiele:

Einheit

Was ist ein Quader?

Ein Quader ist ein dreidimensionaler Körper, bei dem alle Seitenflächen Rechtecke sind und alle Winkel rechte Winkel (90°) sind. Er hat drei Paare von identischen gegenüberliegenden Seitenflächen, 12 Kanten und 8 Ecken. Er ist eine der am häufigsten vorkommenden Formen im Alltag: Räume, Schachteln, Bücher, Ziegelsteine, Kühlschränke und die meisten von Menschen hergestellten Behälter sind Quader. Wenn alle drei Dimensionen gleich sind (l = b = h), wird der Quader zu einem Würfel, einem speziellen und symmetrischeren Fall.

Die 6 Seitenflächen eines Quaders

Ein Quader hat drei Paare von kongruenten (deckungsgleichen) Seitenflächen:

Oben & Unten

2 Flächen der Größe l × b

Fläche = 2lb

Vorne & Hinten

2 Flächen der Größe l × h

Fläche = 2lh

Links & Rechts

2 Flächen der Größe b × h

Fläche = 2bh

Formel für die Oberfläche: SA = 2(lb + lh + bh)

Die Addition der Flächeninhalte aller sechs Seiten ergibt die Gesamtoberfläche:

SA = 2(lb + lh + bh)

wobei l = Länge, b = Breite, h = Höhe

Diese Formel klammert die 2 aus, da jedes Paar gegenüberliegender Flächen identisch ist. Für eine Schachtel mit den Maßen 10 × 6 × 4 cm: SA = 2(10×6 + 10×4 + 6×4) = 2(60 + 40 + 24) = 2(124) = 248 cm².

Formel für das Volumen

Das Volumen eines Quaders ist einfach das Produkt seiner drei Dimensionen: V = l × b × h. Für die 10×6×4 cm große Schachtel ist V = 240 cm³. Das Volumen skaliert mit allen drei Dimensionen, daher erhöht eine Verdoppelung aller Dimensionen das Volumen um den Faktor 8 (2³), während die Oberfläche nur um den Faktor 4 (2²) zunimmt.

Formel für die Raumdiagonale

Die Raumdiagonale ist die längste innere Linie des Quaders, die zwei schräg gegenüberliegende Ecken verbindet. Unter Verwendung des 3D-Pythagoras:

d = √(l² + b² + h²)

Mantelfläche vs. Gesamtoberfläche

Die Mantelfläche bezieht sich nur auf die vier vertikalen Seiten, ohne die oberen und unteren Flächen. Sie entspricht 2h(l + b) — der Höhe multipliziert mit dem Umfang der Grundfläche. Dies ist besonders nützlich, wenn man berechnet, wie viel Farbe für die vier Wände eines Raumes benötigt wird. Für die 10×6×4-Schachtel: Mantelfläche = 2 × 4 × (10 + 6) = 8 × 16 = 128 cm². Die Gesamtoberfläche addiert 2lb = 120 cm² für Ober- und Unterseite, um 248 cm² zu erhalten.

Häufig gestellte Fragen

SA = 2(lb + lh + bh), wobei l = Länge, b = Breite, h = Höhe. Dies umfasst alle 6 rechteckigen Flächen in drei Paaren. Für eine Schachtel mit 3×4×5 cm: SA = 2(12 + 15 + 20) = 2(47) = 94 cm².

Ein Quader hat 6 Seitenflächen, die in 3 Paaren identischer Rechtecke angeordnet sind: oben/unten, vorne/hinten, links/rechts. Er hat 12 Kanten und 8 Ecken und erfüllt die Eulersche Formel: F + V − E = 6 + 8 − 12 = 2.

Kuboid ist ein anderer Name für einen Quader — ein dreidimensionaler Körper mit 6 rechteckigen Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken. Alle Innenwinkel betragen 90°. Ein Würfel ist ein spezieller Kuboid, bei dem alle drei Dimensionen (l, b, h) gleich sind.

Die Mantelfläche umfasst nur die vier vertikalen Seiten. Sie entspricht 2h(l + b). Dies ist nützlich für das Streichen von Räumen (vier Wände). Für eine 10×6×4 cm Schachtel: Mantelfläche = 2 × 4 × 16 = 128 cm².

Messen Sie die Länge (l), Breite (b) und Höhe (h) der Schachtel. Wenden Sie SA = 2(lb + lh + bh) an. Zum Beispiel, eine Versandkiste von 30×20×15 cm: SA = 2(600 + 450 + 300) = 2(1350) = 2700 cm².

Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken des Quaders durch sein Inneres. Mit dem 3D-Pythagoras: d = √(l² + b² + h²). Für eine 3×4×5-Schachtel: d = √(9+16+25) = √50 ≈ 7,071 Einheiten.

Wenn l = b = h = a ist, wird die Formel SA = 2(lb + lh + bh) zu SA = 2(a² + a² + a²) = 6a², was der Formel für die Oberfläche des Würfels entspricht. Alle 6 Flächen werden zu identischen Quadraten. Jeder Würfel ist ein Quader, aber Quader können 3 unterschiedliche Dimensionen haben.