Bruchrechner
Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren & dividieren mit Schritt-für-Schritt-Rechenweg — gemischte Zahlen werden unterstützt
Bruchrechner
Geben Sie gemischte Zahlen oder einfache Brüche ein und wählen Sie eine Rechenart.
Bruch A
Bruch B
Ergebnis
Schritt-für-Schritt-Rechenweg
Geben Sie für jeden Bruch einen Zähler und einen Nenner ein. Lassen Sie die Ganzzahl bei 0 für einfache Brüche. Die Ergebnisse werden automatisch aktualisiert.
Weitere Werkzeuge
Geben Sie einen Bruch ein, um ihn zu kürzen und seinen ggT zu sehen.
Rechnen Sie zwischen Bruch, Dezimalzahl und Prozent um.
Geben Sie bis zu 4 Brüche ein. Sie werden sortiert und verglichen.
Geben Sie bis zu 6 positive ganze Zahlen ein, um ihr kgV (Hauptnenner) und ihren ggT mit Primfaktorzerlegung zu finden.
Beispielrechnungen
Brüche addieren
Einen Bruch kürzen
Rezept skalieren
Wie man Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert
Brüche stellen Teile eines Ganzen dar und begegnen uns überall im Alltag — bei Kochmengen, Baumaßen, Verhältnissen und in der Schulmathematik. Die sichere Beherrschung der Bruchrechnung ist eine Grundfertigkeit, die den Weg zu Algebra, Analysis und darüber hinaus ebnet. Dieser Rechner führt alle vier Grundrechenarten mit vollständigem Schritt-für-Schritt-Rechenweg durch, sodass Sie Ihre Ergebnisse überprüfen und jeden Schritt des Vorgehens nachvollziehen können.
Brüche addieren und subtrahieren
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen beide Nenner übereinstimmen. Der Ablauf ist: (1) den Hauptnenner ermitteln, (2) jeden Bruch auf den Hauptnenner erweitern, (3) die Zähler addieren oder subtrahieren und (4) das Ergebnis kürzen. Beispiel: 1/4 + 1/6 benötigt den Hauptnenner 12, also 3/12 + 2/12 = 5/12.
Brüche multiplizieren
Die Multiplikation ist die einfachste Rechenart bei Brüchen — Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner multiplizieren und anschließend kürzen. Ein gemeinsamer Nenner ist dabei nicht nötig. Über-Kreuz-Kürzen (das Teilen von Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor vor der Multiplikation) hält die Zwischenwerte kleiner und erleichtert das Kürzen.
Brüche dividieren
Die Division erfolgt durch Multiplikation mit dem Kehrwert: a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Drehen Sie den zweiten Bruch um und multiplizieren Sie anschließend. Das funktioniert, weil das Teilen durch einen Bruch der Frage entspricht, wie oft dieser Bruch hineinpasst — was gleichbedeutend ist mit der Multiplikation mit seinem Kehrwert.
Gemischte Zahlen
Eine gemischte Zahl wie 2¾ kombiniert einen ganzzahligen Teil mit einem echten Bruch. Um mit gemischten Zahlen zu rechnen, wandeln Sie sie zunächst in unechte Brüche um: 2¾ = (2×4 + 3)/4 = 11/4. Wandeln Sie das Ergebnis danach wieder zurück: Teilen Sie den Zähler durch den Nenner — der Quotient ist der ganzzahlige Teil, der Rest wird zum neuen Zähler.
Brüche kürzen und den ggT finden
Ein Bruch ist vollständig gekürzt (in seiner einfachsten Form), wenn Zähler und Nenner außer der 1 keinen gemeinsamen Faktor mehr teilen. Das wichtigste Werkzeug dafür ist der größte gemeinsame Teiler (ggT), auch HCF genannt. Mit dem euklidischen Algorithmus gilt: ggT(a,b) = ggT(b, a mod b), bis der Rest 0 ist.
| Rechenart | Methode | Zentrale Formel |
|---|---|---|
| Addieren / Subtrahieren | Hauptnenner finden, erweitern, mit Zählern rechnen | a/b + c/d = (a·d + c·b) / (b·d), danach kürzen |
| Multiplizieren | Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multiplizieren, dann kürzen | (a/b) × (c/d) = (a·c) / (b·d) |
| Dividieren | Mit dem Kehrwert multiplizieren | (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) |
| Kürzen | Durch den ggT teilen | a/b → (a÷g)/(b÷g), wobei g = ggT(a,b) |
| Gemischte Zahl → unechter Bruch | w Ganze + n/d = (w·d + n)/d | Ganzzahl mit Nenner multiplizieren, Zähler addieren |
Hauptnenner, kgV und ggT erklärt
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste positive ganze Zahl, die durch beide Zahlen teilbar ist. Angewendet auf Nenner wird daraus der Hauptnenner. Der ggT teilt beide Zahlen ohne Rest. Zusammen gilt: ggT(a,b) × kgV(a,b) = a × b. Beide lassen sich effizient über die Primfaktorzerlegung oder den euklidischen Algorithmus bestimmen.
Umrechnung von Bruch in Dezimalzahl
Die Umrechnung eines Bruchs in eine Dezimalzahl ist einfach: Teilen Sie den Zähler durch den Nenner. Manche Brüche ergeben endliche Dezimalzahlen (wie 1/4 = 0,25), andere ergeben periodische Dezimalzahlen (wie 1/3 = 0,333...). Ein Bruch ergibt genau dann eine endliche Dezimalzahl, wenn sein (gekürzter) Nenner außer 2 und 5 keine weiteren Primfaktoren besitzt.