Exponentieller-Zerfall-Rechner

P(t) = P₀ × e^−rt — Beliebige Variable berechnen • Halbwertszeit • Zerfallskurve • Wertetabelle

Zerfallsmodell

Berechne

Schnellbeispiele

Was ist exponentieller Zerfall?

Exponentieller Zerfall beschreibt jeden Prozess, bei dem eine Menge mit einer Rate abnimmt, die proportional zu ihrem aktuellen Wert ist. Je größer die Menge, desto schneller schrumpft sie – dennoch bleibt der prozentuale Verlust pro Zeiteinheit konstant. Dies erzeugt die charakteristische glatte, immer flacher werdende Kurve, die niemals ganz null erreicht.

Mathematisch lautet die kontinuierliche exponentielle Zerfallsformel:

P(t) = P₀ × e^−rt
P₀ = Anfangsmenge • r = Zerfallsrate • t = Zeit • e = Eulersche Zahl ≈ 2.71828

Verständnis der Formelkomponenten

P₀ (Anfangsmenge) — Die Menge zum Zeitpunkt t = 0. Können Gramm eines radioaktiven Isotops, Milligramm eines Medikaments oder eine beliebige messbare Menge sein.
r (Zerfallsrate / Zerfallskonstante λ) — Eine positive Konstante, die ausdrückt, wie schnell die Menge pro Zeiteinheit schrumpft. In der Physik oft λ (Lambda) genannt.
t (Zeit) — Verstrichene Zeit, gemessen in konsistenten Einheiten, die der Zerfallsrate entsprechen.
e^−rt — Der exponentielle Faktor; skaliert P₀ nach unten.

Kontinuierlicher vs. Diskreter exponentieller Zerfall

Zwei Modelle beschreiben den exponentiellen Zerfall:

Modell	Formel	Wann verwendet	Beispiel (r=0.1, t=5)
Kontinuierlich	P₀ × e^−rt	Physik, Pharmakologie, Abkühlung	P(5) = P₀ × e^−0.5 ≈ 0.6065 P₀
Diskret	P₀ × (1−r)^t	Jährliche Statistiken, periodisch	P(5) = P₀ × 0.9⁵ ≈ 0.5905 P₀

Der kontinuierliche Zerfall ist für die gleiche Rate r etwas langsamer als der diskrete, da das kontinuierliche Modell die Reduktion effektiv in unendlich kleinen Intervallen neu berechnet.

Halbwertszeit: Das Schlüsselkonzept

Die Halbwertszeit (t½) ist die Zeit, die erforderlich ist, damit die Menge die Hälfte ihres aktuellen Wertes erreicht.

t½ = ln(2) / r ≈ 0.6931 / r

Die wichtigste Eigenschaft der Halbwertszeit: Sie ist konstant, unabhängig von der Anfangsmenge P₀. Jede weitere Halbwertszeit halbiert das, was noch übrig ist:

Verstrichene Halbwertszeiten	Verbleibender Anteil	% verbleibend
0	1	100%
1	1/2	50%
2	1/4	25%
3	1/8	12.5%
5	1/32	3.125%
10	1/1024	~0.098%

Praxisanwendungen

1. Radioaktiver Zerfall & Radiokarbonmethode

Jedes radioaktive Isotop zerfällt mit einer charakteristischen Halbwertszeit. Unten ist eine Referenztabelle für gängige Isotope:

Isotope	Halbwertszeit	Decay rate r (per year)	Application
Kohlenstoff-14 (¹⁴C)	5.730 Jahre	0.0001209	Radiokarbonmethode
Uran-238 (²³⁸U)	4,47 Milliarden Jahre	1.55 × 10⁻¹⁰	Geologische Datierung
Jod-131 (¹³¹I)	8,02 Tage	0.0864	Medizinische Therapie
Technetium-99m	6,01 Stunden	2.77	Medizinische Bildgebung
Cäsium-137 (¹³⁷Cs)	30,17 Jahre	0.02297	Nuklearer Fallout
Radon-222 (²²²Rn)	3,82 Tage	0.1814	Raumluftqualität

2. Arzneimittel-Pharmakokinetik

Die Konzentration eines Arzneimittels im Blutkreislauf folgt typischerweise nach der Absorptionsphase einem exponentiellen Zerfall erster Ordnung.

3. Newtonsches Abkühlungsgesetz

Die Temperaturdifferenz zwischen einem Objekt und seiner Umgebung zerfällt exponentiell. Forensiker nutzen dies zur Schätzung der Todeszeit.

4. Bevölkerungsrückgang

Artenverlust, Abwanderung aus ländlichen Gebieten oder Kundenabwanderung können alle einem exponentiellen Zerfall folgen.

5. Kondensatorentladung

Wenn sich ein Kondensator über einen Widerstand entlädt, folgt die Spannung einem exponentiellen Zerfall.

Jede Variable berechnen

Berechne	Formel	Notizen
P(t)	P₀ × e^−rt	Direkte Berechnung
P₀	P(t) × e^rt	Umkehrung: gegebene Endmenge, finde Anfangsmenge
r	−ln(P(t)/P₀) / t	Benötigt zwei Messungen und verstrichene Zeit
t	−ln(P(t)/P₀) / r	Finde heraus, wann ein bestimmtes Niveau erreicht ist

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Formel für exponentiellen Zerfall?

Die Standardformel lautet P(t) = P₀ × e^−rt, wobei P₀ die Anfangsmenge, r die positive Zerfallsratenkonstante, t die Zeit und e die Eulersche Zahl (≈2.71828) ist. Die diskrete Version ist P(t) = P₀ × (1−r)^t.

Was ist die Halbwertszeit und wie wird sie berechnet?

Die Halbwertszeit (t½) ist die Zeit, in der eine Menge auf 50% ihres aktuellen Wertes fällt. Die Halbwertszeit ist konstant – nach jedem weiteren t½ zerfällt genau die Hälfte des Verbleibenden.

Was ist der Unterschied zwischen kontinuierlichem und diskretem exponentiellem Zerfall?

Kontinuierlich: P(t) = P₀e^−rt — Der Zerfall findet in jedem Moment statt und erzeugt eine vollkommen glatte Kurve.

Diskret: P(t) = P₀(1−r)^t — Der Zerfall wird einmal pro Periode angewendet.

Wie bestimme ich die Zerfallsrate r aus zwei Messungen?

Stelle die Formel um, um r zu isolieren: r = −ln(P(t)/P₀) / t. Du benötigst die Anfangsmenge P₀, die Endmenge P(t) und die verstrichene Zeit t.

Wie wird der exponentielle Zerfall bei der Radiokarbonmethode verwendet?

Kohlenstoff-14 (¹⁴C) in einem lebenden Organismus befindet sich im Gleichgewicht mit der Atmosphäre. Nach dem Tod zerfällt es mit einer Halbwertszeit von ≈ 5.730 Jahren.

Was passiert mit dem exponentiellen Zerfall nach vielen Halbwertszeiten?

Die Menge halbiert sich mit jeder Halbwertszeit. Mathematisch nähert es sich asymptotisch der Null, erreicht diese aber nie.

Wie berechne ich die Zeit, bis eine Menge einen bestimmten Wert erreicht?

Verwende die umgestellte Formel: t = −ln(P(t)/P₀) / r. Wähle oben den Modus t berechnen, um dies sofort zu berechnen.