प्रक्षेपी गति कैलकुलेटर (Projectile Motion)

किसी भी प्रक्षेपी के लिए परास (दूरी), अधिकतम ऊँचाई, उड़ान का समय और प्रक्षेपवक्र की गणना करें। इसमें कई ग्रह, इकाई रूपांतरण और एक इंटरैक्टिव SVG प्रक्षेपवक्र चार्ट शामिल है।

त्वरित चयन (Presets):
डिग्री (0–90°)
g = m/s²
डिग्री
m/s²

प्रक्षेपी गति कैसे काम करती है

प्रक्षेपी गति (Projectile Motion) केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में हवा में प्रक्षेपित वस्तु की द्विविमीय (Two-dimensional) गति का वर्णन करती है। मुख्य बात यह है कि क्षैतिज (Horizontal) और लंबवत (Vertical) गतियाँ एक दूसरे से स्वतंत्र होती हैं: क्षैतिज वेग स्थिर रहता है, जबकि गुरुत्वाकर्षण लंबवत दिशा में लगातार त्वरण पैदा करता है।

इसके परिणाम स्वरूप बनने वाला पथ एक **परवलय (Parabola)** होता है। इसका वर्णन सबसे पहले गैलीलियो गैलीली ने 17वीं सदी की शुरुआत में किया था।

vx = const
क्षैतिज वेग कभी नहीं बदलता (कोई हवा का प्रतिरोध नहीं)
ay = −g
लंबवत त्वरण हमेशा नीचे की ओर 'g' m/s² होता है
45°
समतल सतह पर अधिकतम दूरी के लिए अनुकूलतम कोण

प्रक्षेपी गति के सूत्र (Formulas)

वेग घटक (Velocity Components)

vx = v₀ · cos(θ)

vy = v₀ · sin(θ)

उड़ान का समय (समतल भूमि)

T = 2 · vy / g

शिखर समय का दोगुना

परास / क्षैतिज दूरी (Range)

R = vx · T

= v₀² · sin(2θ) / g

अधिकतम ऊँचाई

H = vy² / (2g)

लॉन्च स्तर से ऊपर ऊँचाई

उड़ान समय (प्रारंभिक ऊँचाई h₀ के साथ)

T = (vy + √(vy²+2gh₀)) / g

अंतिम प्रभाव वेग

v_f = √(vx² + vyf²)

vyf = vy − g·T

दूरी बनाम कोण संदर्भ तालिका (v₀ = 10 m/s, Earth)

कोण (θ) दूरी / रेंज (m) अधिकतम ऊँचाई (m) उड़ान समय (s)
15° 5.09 0.34 0.53
30° 8.83 1.27 1.02
45° (अधिकतम परास) 10.19 2.55 1.44
60° 8.83 3.83 1.77
75° 5.09 4.76 1.97

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग (Applications)

⚽

खेल (Sports)

फुटबॉल, बास्केटबॉल, भाला फेंक और गोल्फ की गेंदें प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करती हैं। कोण को अनुकूलित करना दूरी को बढ़ाता है।

🚀

सैन्य और बैलिस्टिक

तोपखाने के गोले, रॉकेट और मिसाइलें हवा के प्रतिरोध और हवा की गति के अनुसार गणना करती हैं।

🌊

पानी के फव्वारे

इंजीनियर सिंचाई प्रणालियों और फव्वारों में पानी की धारा के वक्र को डिजाइन करने के लिए इसका उपयोग करते हैं।

🎢

थीम पार्क (Theme Parks)

रोलर कोस्टर लॉन्च और स्टंट शो के कूदने के पथ प्रक्षेपी गति के सिद्धांतों से बनाए जाते हैं।

हल किए गए उदाहरण (Worked Examples)

उदाहरण 1 — फुटबॉल किक (v₀ = 25 m/s, θ = 45°, पृथ्वी)

vx = 25 × cos(45°) = 17.68 m/s
vy = 25 × sin(45°) = 17.68 m/s
T = 2 × 17.68 / 9.81 = 3.60 s
R = 17.68 × 3.60 = 63.7 m
H = 17.68² / (2 × 9.81) = 15.9 m

उदाहरण 2 — चट्टान से तोप दागना (v₀ = 100 m/s, θ = 30°, h₀ = 50 m)

vx = 100 × cos(30°) = 86.60 m/s
vy = 100 × sin(30°) = 50.00 m/s
T = (50 + √(2500 + 2×9.81×50)) / 9.81 = 11.01 s
R = 86.60 × 11.01 = 953 m
H = 50²/(2×9.81) + 50 = 177.6 m

उदाहरण 3 — चंद्रमा पर वही थ्रो (v₀ = 25 m/s, θ = 45°, g = 1.62 m/s²)

T = 2 × 17.68 / 1.62 = 21.83 s
R = 17.68 × 21.83 = 385.9 m
H = 17.68² / (2 × 1.62) = 96.5 m
पृथ्वी की तुलना में लगभग 6 गुना अधिक दूर!

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

प्रक्षेपी गति (Projectile Motion) वह वक्रीय पथ है जो केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में हवा में प्रक्षेपित वस्तु द्वारा तय किया जाता है (हवा के प्रतिरोध को छोड़कर)। क्षैतिज वेग स्थिर रहता है जबकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण के कारण लंबवत वेग बदलता है।
समतल सतह पर (लांच और लैंडिंग समान स्तर पर हो), 45° का प्रक्षेपण कोण अधिकतम परास देता है।
वायु प्रतिरोध रेंज को कम करता है और अधिकतम दूरी के लिए इष्टतम प्रक्षेपण कोण को 45° से घटाकर लगभग 30-40° कर देता है। यह कैलकुलेटर हवा के प्रतिरोध के बिना आदर्श परिदृश्य मानता है।