Lösen Sie Probleme mit Arbeitern, Rohr & Zisterne und individuellen Raten schrittweise.
Geben Sie die Zeit (in derselben Einheit) ein, die jeder Arbeiter benötigt, um die Arbeit alleine abzuschließen. Leer lassen, um auszuschließen.
Arbeiter ATage/Stunden
Arbeiter BTage/Stunden
Arbeiter CTage/Stunden
Arbeiter DTage/Stunden
Arbeiter ETage/Stunden
Geben Sie die Zeit ein, die jedes Rohr benötigt, um die Zisterne allein zu füllen oder zu entleeren.
Rohr 1Std. zum
Rohr 2Std. zum
Rohr 3Std. zum
Rohr 4Std. zum
Zwei Arbeiter (A und B) beenden zusammen eine Arbeit in T Stunden. Arbeiter A benötigt alleine TA Stunden. Finden Sie heraus, wie lange Arbeiter B alleine benötigt.
Was ist ein Arbeitsratenproblem?
Ein Arbeitsratenproblem ist eine klassische Kategorie von Rechenaufgaben, bei der gefragt wird: Wenn verschiedene Arbeiter (oder Rohre) eine Aufgabe mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten erledigen können, wie lange brauchen sie dann, wenn sie zusammenarbeiten? Diese Probleme tauchen im Alltag auf — wie viele Maler, um ein Haus rechtzeitig fertigzustellen, wie viele Pumpen, um ein Reservoir zu leeren, wie lange dauert ein gemeinsames Projekt mit mehreren Mitwirkenden.
Die entscheidende Erkenntnis ist, dass Raten additiv sind. Wenn Arbeiter A 1/6 eines Jobs pro Tag und Arbeiter B 1/4 pro Tag erledigt, erledigen sie zusammen 1/6 + 1/4 = 5/12 des Jobs pro Tag. Die Gesamtzeit beträgt einfach 12/5 = 2,4 Tage.
Die Arbeitsratenformel
Die grundlegende Formel basiert auf Raten (Bruchteil des Jobs pro Zeiteinheit):
Rate des Arbeiters = 1 / (Zeit zur alleinigen Erledigung)
Kombinierte Rate = 1/T₁ + 1/T₂ + 1/T₃ + ...
Gemeinsame Zeit (T) = 1 / Kombinierte Rate
Die kgV-Methode (kleinstes gemeinsames Vielfaches) ist eine effiziente Alternative: Nehmen Sie das kgV aller einzelnen Zeiten als "Gesamtarbeitseinheiten". Die Leistung jedes Arbeiters pro Tag entspricht (kgV ÷ seine Zeit). Summieren Sie alle Leistungen für die kombinierte Leistung pro Tag und teilen Sie dann die Gesamtarbeit durch die kombinierte Leistung für das Ergebnis.
Lösen von Rohr- und Zisternenproblemen
Rohr- und Zisternenprobleme sind strukturell identisch, beinhalten aber sowohl Füll- als auch Entleerungsrohre. Füllrohre tragen eine positive Rate bei; Entleerungsrohre tragen eine negative Rate bei. Die Nettorate bestimmt, ob sich die Zisterne füllt oder leert, und wie schnell.
Beispiel: Rohr A füllt in 3 Stunden (+1/3 pro Stunde), Rohr B füllt in 6 Stunden (+1/6 pro Stunde), Rohr C entleert in 4 Stunden (−1/4 pro Stunde). Nettorate = 1/3 + 1/6 − 1/4 = 4/12 + 2/12 − 3/12 = 3/12 = 1/4 pro Stunde. Die Zisterne füllt sich in 4 Stunden.
Schritt-für-Schritt Beispielaufgabe
Problem: A erledigt eine Arbeit in 6 Tagen; B erledigt sie in 4 Tagen. Wie lange brauchen sie zusammen?
Rate A = 1/6 pro Tag
Rate B = 1/4 pro Tag
Kombiniert = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 pro Tag
Zeit = 1 ÷ (5/12) = 12/5 = 2,4 Tage = 2 Tage 9 Std 36 Min
Häufige Variationen
Teilarbeit: A arbeitet 3 Tage lang, dann kommt B hinzu. Berechnen Sie die von A geleistete Arbeit, wenden Sie dann die kombinierte Rate für die restliche Arbeit an.
Arbeiter geht früher: A und B beginnen zusammen; A geht nach t Stunden. Verwenden Sie die kombinierte Rate für t Stunden, dann die Einzelrate für die restliche Arbeit.
Umgekehrtes Problem: Gegeben ist die kombinierte Zeit und die Zeit eines Arbeiters, finden Sie die Zeit des anderen Arbeiters mit 1/TB = 1/T − 1/TA.
Effizienzverhältnis: Arbeiter mit gegebenem Effizienzverhältnis können in Zeiten umgerechnet werden: Wenn A doppelt so schnell ist wie B und B T benötigt, dann benötigt A T/2.
Häufig gestellte Fragen
Ein Arbeitsratenproblem fragt, wie lange es dauert, bis mehrere Arbeiter oder Rohre eine Aufgabe gemeinsam erledigen, wenn die individuelle Abschlusszeit jedes Einzelnen bekannt ist. Das Schlüsselprinzip ist, dass Raten (Bruchteile der Arbeit pro Zeiteinheit) additiv sind.
Wenn jeder Arbeiter die Aufgabe allein in T₁, T₂, ..., Tₙ Zeiteinheiten erledigt, ist ihre kombinierte Rate 1/T₁ + 1/T₂ + ... + 1/Tₙ. Die Zeit, in der alle zusammen fertig werden, ist 1 ÷ (kombinierte Rate).
Kombinierte Rate = 1/6 + 1/4 = 5/12 pro Tag. Gemeinsame Zeit = 12/5 = 2,4 Tage = 2 Tage und 9 Stunden 36 Minuten. Abkürzung: T = (6×4)/(6+4) = 24/10 = 2,4 Tage.
Strukturell sind sie identisch — aber bei Rohrproblemen reduzieren einige Akteure das Gesamte (Entleerungsrohre). Ihre Raten werden von den Füllraten subtrahiert und nicht addiert. Die Nettorate gibt an, ob sich die Zisterne insgesamt füllt oder entleert.
Weisen Sie entleerenden Rohren eine negative Rate zu. Nettorate = (Summe der Füllraten) − (Summe der Entleerungsraten). Wenn die Nettorate positiv ist, füllt sich die Zisterne; negativ bedeutet, sie entleert sich. Zeit = 1 / |Nettorate|.
Verwenden Sie: 1/TB = 1/T − 1/TA, also TB = TA × T / (TA − T). Damit dies gültig ist, muss T kleiner als TA sein (man kann zusammen nicht langsamer arbeiten als der langsamste Arbeiter allein).