Drehmoment-Rechner

Berechnen Sie das Drehmoment τ = rF sinθ, das Trägheitsmoment, die Winkelbeschleunigung α = τ/I und die Rotationsarbeit W = τθ.

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Kraft F
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Winkel θ (Grad)
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Drehmoment τ

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Was ist Drehmoment?

Das Drehmoment (auch Moment der Kraft genannt) ist das rotatorische Äquivalent zur linearen Kraft. Es misst, wie sehr eine Kraft dazu führt, dass sich ein Objekt um einen Drehpunkt oder eine Achse dreht. Wenn Sie eine Schraube mit einem Schraubenschlüssel anziehen, eine Tür aufdrücken oder in die Pedale eines Fahrrads treten, wenden Sie ein Drehmoment an.

Die entscheidende Erkenntnis: Dieselbe Kraft erzeugt ein größeres Drehmoment, wenn sie weiter vom Drehpunkt entfernt oder senkrecht angewendet wird. Aus diesem Grund erleichtert ein längerer Schraubenschlüssel das Lösen einer festsitzenden Schraube.

τ = rF sinθ
Grundlegende Drehmomentformel
τ = Iα
Zweites Newtonsches Gesetz der Rotation
W = τθ
Rotationsarbeit (J)

Die Drehmomentformel τ = rF sinθ

Das von einer Kraft erzeugte Drehmoment hängt von drei Faktoren ab:

  • r — Hebelarm: Abstand vom Drehpunkt zum Kraftangriffspunkt (Meter)
  • F — Betrag der angewendeten Kraft (Newton)
  • θ — Winkel zwischen dem Kraftvektor und der Richtung des Hebelarms

τ = r × F × sin(θ)

Maximales Drehmoment bei θ = 90° (Kraft senkrecht zum Arm)

Wenn θ = 90°, ist sin(90°) = 1 und die gesamte Kraft trägt zur Rotation bei. Wenn θ = 0° oder 180°, ist die Kraft parallel zum Arm und erzeugt keine Rotation.

Trägheitsmoment für gängige Formen

Das Trägheitsmoment I misst die Rotationsträgheit – den Widerstand eines Objekts gegen Rotationsänderungen. Es hängt sowohl von der Gesamtmasse als auch von der Verteilung dieser Masse ab.

Form Formel
Massive Scheibe / ZylinderI = ½MR²
Reifen / Dünner RingI = MR²
Massive KugelI = (2/5)MR²
Dünne KugelschaleI = (2/3)MR²
Stab um den MittelpunktI = (1/12)ML²
Stab um das EndeI = (1/3)ML²
PunktmasseI = mr²

Zweites Newtonsches Gesetz der Rotation

Genau wie F = ma die lineare Bewegung bestimmt, bestimmt τ = Iα die Rotationsbewegung. Das resultierende Drehmoment entspricht dem Trägheitsmoment mal der Winkelbeschleunigung:

α = τ / I   (rad/s²)

Ein Drehmoment von 50 N·m auf eine massive Scheibe mit I = 0,9 kg·m² erzeugt α = 50/0,9 ≈ 55,6 rad/s². Das gleiche Drehmoment auf einen Reifen gleicher Masse erzeugt weniger Winkelbeschleunigung, da sein Trägheitsmoment höher ist.

Rotationsarbeit und -leistung

Rotationsarbeit

W = τ · θ

θ in Radiant, W in Joule

Rotationsleistung

P = τ · ω

ω in rad/s, P in Watt

Dies sind die Rotationsanaloga zu W = Fd und P = Fv. Ein Motor, der 100 N·m bei 100 rad/s erzeugt, liefert 10.000 W = 10 kW Leistung.

Anwendungen in der Praxis

Automotoren

Das Drehmoment des Motors (N·m) bestimmt die Zugkraft; die Leistung (kW) ist das Drehmoment × Drehzahl. Ein Dieselmotor mit 400 N·m und 2500 U/min erzeugt ≈ 104 kW.

Befestigungstechnik

Drehmomentschlüssel stellen sicher, dass Schrauben gemäß den Spezifikationen angezogen werden – bei zu geringem Drehmoment lösen sich die Verbindungen, bei zu viel reißen die Schrauben. Entscheidend für Motoren, Räder und strukturelle Verbindungen.

Fahrräder und Gänge

Übersetzungsverhältnisse tauschen Drehmoment gegen Geschwindigkeit. Niedrige Gänge bieten ein hohes Drehmoment (für Hügel); hohe Gänge verringern das Drehmoment, erhöhen aber die Geschwindigkeit. Kraft des Fahrers × Kurbellänge = Drehmoment.

Tragwerksplanung

Träger erfahren unter Last Biegemomente (Drehmomente). Ingenieure berechnen Momentendiagramme, um sicherzustellen, dass Strukturen an kritischen Querschnitten bei Rotation nicht versagen.

Bearbeitete Beispiele

Beispiel 1 — Schraubenschlüssel (θ=90°)

Gegeben: F=200 N, r=0.25 m, θ=90°
τ = rF sin(90°) = 0,25 × 200 × 1
τ = 50 N·m

Beispiel 2 — Abgewinkelter Schlüssel (θ=60°)

Gegeben: F=200 N, r=0.25 m, θ=60°
τ = 0,25 × 200 × sin(60°)
= 50 × 0,866 = 43,3 N·m

Beispiel 3 — Trägheitsmoment einer massiven Scheibe

Gegeben: M=20 kg, R=0.3 m (Scheibe)
I = ½ × 20 × 0,3² = ½ × 20 × 0,09
I = 0,9 kg·m²

Beispiel 4 — Winkelbeschleunigung

Gegeben: τ=50 N·m, I=0.9 kg·m²
α = τ/I = 50 / 0,9
α = 55,6 rad/s²

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Das Drehmoment (τ) ist das rotatorische Äquivalent zur Kraft. Es misst, wie sehr eine auf einen Körper wirkende Kraft diesen um eine Achse rotieren lässt. Das Drehmoment hängt von der Größe der Kraft, dem Abstand vom Drehpunkt (Hebelarm) und dem Winkel zwischen der Kraft und dem Hebelarm ab.
Die Formel für das Drehmoment lautet τ = r × F × sin(θ), wobei r die Länge des Hebelarms (Abstand vom Drehpunkt zum Kraftangriffspunkt), F die angewandte Kraft und θ der Winkel zwischen dem Kraftvektor und dem Hebelarm ist. Das maximale Drehmoment tritt bei θ = 90° auf (Kraft senkrecht zum Arm).
Der Term sin(θ) erfasst die effektive Komponente der Kraft, die senkrecht zum Hebelarm wirkt. Nur die senkrechte Komponente erzeugt eine Rotation. Bei 90° (Kraft senkrecht zum Hebelarm) ist sin(90°) = 1 und das Drehmoment maximal. Bei 0° oder 180° (Kraft parallel zum Hebelarm) ist der Sinus = 0 und das Drehmoment null.
Das Trägheitsmoment (I) ist ein Maß für den Widerstand eines Objekts gegen Winkelbeschleunigung – das rotatorische Analogon zur Masse. Es hängt davon ab, wie die Masse relativ zur Rotationsachse verteilt ist. Ein hohler Ring hat I = MR², während eine massive Scheibe I = ½MR² hat, da sich die Masse des Rings vollständig am Rand befindet.
Kraft verursacht eine lineare (translatorische) Beschleunigung gemäß F = ma. Drehmoment verursacht eine Winkel- (Rotations-) beschleunigung gemäß τ = Iα. Die Kraft wird in Newton gemessen, das Drehmoment in Newtonmeter (N·m). Eine Kraft, die in einem bestimmten Abstand zu einem Drehpunkt angreift, erzeugt ein Drehmoment; dieselbe Kraft durch den Drehpunkt erzeugt kein Drehmoment.
Das Zweite Newtonsche Gesetz für die Rotation besagt τ = I × α, wobei τ das resultierende Drehmoment (N·m), I das Trägheitsmoment (kg·m²) und α die Winkelbeschleunigung (rad/s²) ist. Ein größeres Drehmoment auf einen bestimmten Körper erzeugt eine größere Winkelbeschleunigung.
Der Steinersche Satz besagt, dass das Trägheitsmoment um eine beliebige Achse gleich dem Trägheitsmoment um eine parallele Achse durch den Schwerpunkt plus M×d² ist, wobei M die Gesamtmasse und d der Abstand zwischen den Achsen ist: I = I_cm + Md². Er ermöglicht die Berechnung von I für eine vom Schwerpunkt versetzte Achse.
Die SI-Einheit des Drehmoments ist das Newtonmeter (N·m). Weitere gängige Einheiten sind: kN·m (Kilonewtonmeter), N·cm, lbf·ft (1 lbf·ft = 1,35582 N·m) und lbf·in (1 lbf·in = 0,11298 N·m). Hinweis: N·m für das Drehmoment und J (Joule) für die Energie sind dimensionell äquivalent, aber physikalisch unterschiedliche Größen.

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