Mersenne-Primzahlen Prüfer
Prüfe mit dem Lucas-Lehmer-Test, ob 2p−1 prim ist
Exponenten bis 127 werden exakt berechnet (für größere siehe Liste). p muss prim sein, damit 2^p−1 prim sein kann.
Alle 51 bekannten Mersenne-Primzahlen (Stand 2024). Sie haben die Form 2p−1.
| # | p | 2^p − 1 | Ziffern | Entdeckt | Von |
|---|
Der Lucas-Lehmer-Test prüft, ob Mp = 2p−1 prim ist. Beginne mit s₀ = 4, dann si+1 = si² − 2 (mod Mp). Mp ist genau dann prim, wenn sp−2 ≡ 0 (mod Mp).
Zu pädagogischen Zwecken werden Schritte bis p ≤ 61 gezeigt (größere Werte hätten zu viele Schritte).
Über Mersenne-Primzahlen
Eine Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl der Form 2p−1, wobei p selbst prim sein muss (obwohl nicht jede Primzahl p eine Mersenne-Primzahl ergibt). Sie sind benannt nach Marin Mersenne (1588–1648).
Fakten:
- Nur 51 Mersenne-Primzahlen sind bekannt (Stand 2024)
- Die größte bekannte Primzahl ist immer eine Mersenne-Primzahl
- Der aktuelle Rekord (M82589933) hat 24.862.048 Ziffern
- Das GIMPS-Projekt nutzt verteiltes Rechnen, um neue zu finden
- Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt
Häufig gestellte Fragen
Warum muss p eine Primzahl sein, damit 2^p−1 eine Primzahl ist?
If p = ab (composite) with a, b > 1, then 2^a − 1 divides 2^(ab) − 1. So 2^p − 1 would be composite. Therefore, a Mersenne prime's exponent must itself be prime — though the converse is not guaranteed (not all prime exponents give Mersenne primes).
Wie funktioniert der Lucas-Lehmer-Test?
For odd prime p, define s₀ = 4 and s_{i+1} = s_i² − 2 (mod 2^p − 1). The Mersenne number M_p = 2^p − 1 is prime if and only if s_{p−2} ≡ 0 (mod M_p). This test is highly efficient compared to general primality tests because it exploits the special structure of Mersenne numbers.
Was ist das GIMPS-Projekt?
The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) is a distributed computing project where volunteers run software on their computers to test potential Mersenne primes. Started in 1996, GIMPS has discovered all Mersenne primes since M35 (2^1,398,269−1). Discoverers can earn cash prizes for finding new Mersenne primes.
Sind Mersenne-Primzahlen mit vollkommenen Zahlen verbunden?
Yes! Every even perfect number has the form 2^(p−1) × (2^p − 1) where 2^p − 1 is a Mersenne prime. This was proved by Euler (and partially by Euclid). The first four perfect numbers are 6, 28, 496, and 8128 — corresponding to Mersenne primes with p = 2, 3, 5, 7.
Was ist die größte bekannte Mersenne-Primzahl?
As of 2024, the largest known Mersenne prime is 2^82,589,933 − 1, discovered by Patrick Laroche in December 2018. It has 24,862,048 decimal digits and is also the largest known prime of any kind.
Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen?
This is unknown. The Lenstra-Pomerance-Wagstaff conjecture predicts there are infinitely many, growing at roughly e^γ × ln(2) × ln(ln(x)) Mersenne primes up to exponent x — but no proof exists.
Wer war Marin Mersenne?
Marin Mersenne (1588–1648) was a French Minim friar, theologian, philosopher, and mathematician. He corresponded with major mathematicians of his era (Fermat, Pascal, Descartes) and is credited with proposing that numbers of the form 2^p−1 might often be prime. He correctly identified several Mersenne primes but also made some errors in his list.
Gibt es ein Muster bei den Mersenne-Primzahl-Exponenten?
No clear pattern has been found. The exponents (2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127…) appear somewhat irregular. Many primes in between (like 11, 23, 29, 37…) do not yield Mersenne primes. Finding the next one requires exhaustive computer testing.