Hookesches Gesetz Rechner
Berechnen Sie die Federkraft F = kx, die Federkonstante, die Auslenkung, die elastische potenzielle Energie und Federkombinationen.
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Was ist das Hookesche Gesetz?
Das Hookesche Gesetz, 1678 von Robert Hooke formuliert, beschreibt das elastische Verhalten von Federn und vielen festen Materialien. Innerhalb der Elastizitätsgrenze ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung:
F = k · x
F = Kraft (N), k = Federkonstante (N/m), x = Auslenkung (m)
Die formale Aussage lautet F = −kx (das negative Vorzeichen gibt die Rückstellrichtung an), aber Ingenieure arbeiten typischerweise mit Beträgen. Das Gesetz ist die Grundlage für Schwingungsanalysen, den Hochbau und die einfache harmonische Bewegung.
Die Federkonstante (k) erklärt
Die Federkonstante k quantifiziert die Steifigkeit — wie viel Kraft pro Verformungseinheit erforderlich ist. Ein höheres k = steifere Feder.
| Beispiel | k (N/m) |
|---|---|
| Druckfeder eines Kugelschreibers | ~148 |
| Sportbogen | ~200 |
| Matratzenfeder | ~4.000 |
| Pogo-Stick | ~10.000 |
| Autoaufhängung (pro Rad) | ~20.000 |
| Motorventilfeder | ~50.000 |
Elastische potenzielle Energie
Die Arbeit, die zum Zusammendrücken oder Dehnen einer Feder verrichtet wird, wird als elastische potenzielle Energie gespeichert. Da die Kraft linear mit der Auslenkung zunimmt, beträgt die Energie:
E = ½ · k · x²
Diese Energie kann in kinetische Energie umgewandelt werden (Bungee-Seil, Federkatapult) oder nutzbare Arbeit verrichten (Zugfeder einer mechanischen Uhr). Der Faktor ½ ergibt sich, da die Arbeit der Fläche unter dem Kraft-Weg-Dreieck entspricht.
Reihen- vs. Parallelschaltung von Federn
Reihe (k_eq ist kleiner)
Federn teilen sich die Kraft; die Gesamtausdehnung = Summe der Ausdehnungen. Wird verwendet, wenn eine weichere Reaktion erforderlich ist.
Parallel (k_eq ist größer)
Federn teilen sich die Last; die Gesamtausdehnung ist für jede Feder gleich. Wird verwendet, um die Steifigkeit zu erhöhen (Blattfedern bei Autos).
Jenseits der Elastizitätsgrenze
Das Hookesche Gesetz gilt nur bis zur Proportionalitätsgrenze. Darüber hinaus:
- Elastizitätsgrenze: Das Material kehrt immer noch in seine ursprüngliche Form zurück, aber die F-x-Beziehung ist nicht mehr linear.
- Streckgrenze: Dauerhafte (plastische) Verformung beginnt.
- Zugfestigkeit: Maximale Spannung vor dem Bruch.
Bei den meisten Stahlfedern liegt die Elastizitätsgrenze bei etwa 60–70 % der Zugfestigkeit.
Technische Anwendungen
Das Hookesche Gesetz untermauert eine Vielzahl von technischen Systemen:
Fahrzeugaufhängung
Schraubenfedern mit k ≈ 15.000–25.000 N/m dämpfen Fahrbahnstöße und halten den Reifenkontakt aufrecht.
Schwingungsisolierung
Maschinenlagerungen nutzen ein bekanntes k, um die Eigenfrequenz von den Betriebsfrequenzen abzustimmen.
Kraftmessung
Federwaagen und Kraftmesser nutzen F = kx; die Auslenkung zeigt die Größe der Kraft an.
MEMS-Sensoren
Mikroskopische Federn in Beschleunigungsmessern und Gyroskopen folgen bei mikroskopischen Auslenkungen dem Hookeschen Gesetz.
Rechenbeispiele
Beispiel 1 — Autoaufhängung
Beispiel 2 — Federkonstante finden
Beispiel 3 — Reihenschaltung
Beispiel 4 — Energie der Bogensehne